Espacial - Pirâmide

Uma pirâmide de base quadrada ABCD tem:
AB = 4√(10)
BV = CV = AV = DV = 2√(110)



Calcule a distância do vértice B ao plano ADV.

alguém pode me ajudar?
obrigado

distância de B ao plano ADV, é a distância de B ao baricentro do triângulo ADV.
No triângulo ADV isósceles, temos :
AV² = VH² + AH²
(2√110)² = h² + (2√10)²
4.110 = h² + 4.10
h² = 4.100
h = 20
GH = 20/3
no triângulo AHB, retângulo em A, temos:
HB² = AH² +AB²
HB² = (2√10)² + (4√10)²
HB² = 40 + 160
HB² = 200
No triângulo HGB retângulo em G:
HB² = GH² + GB²
200 = (20/3)² + GB²
GB² = 200 - 400/9
GB² = 1400/9
GB = (10√14)/3
tem gabarito?

Opa Luck!! Logo eu que sempre fico cobrando gabaritos, não coloquei, mil desculpas. É 12cm.

Quando tentei fazer, fiz exatamente o mesmo que você, mas por que é a distância ao baricentro? Não faz sentido... Além do mais, nossa resposta é aproximadamente 12,47, e consegui achar distancias menores, como 12,06 (que, no caso, é a altura do triângulo AVB que passa por B).

ramonss escreveu:Opa Luck!! Logo eu que sempre fico cobrando gabaritos, não coloquei, mil desculpas. É 12cm.

Quando tentei fazer, fiz exatamente o mesmo que você, mas por que é a distância ao baricentro? Não faz sentido... Além do mais, nossa resposta é aproximadamente 12,47, e consegui achar distancias menores, como 12,06 (que, no caso, é a altura do triângulo AVB que passa por B).

pois é , espacial nao é meu forte mas se nao for distância de B até ao baricentro vai ser o que

Pensei em outra solução, a menor distância de B ao plano AVD é a distância de B à reta AV, acho que a minha primeira solução ta errada, mas tb nao bateu.. deu 40(√11)/11

Essa também não é a menor.. essa é exatamente a altura que eu tava falando.. se vc resolver, vai ver que é 40(√11)/11 que é aproximadamente 12,06...

mas ser perpendicular a AV não garante perpendicularidade ao plano.. vou pensar em algo aqui também

Ramonss, consegui fazer por álgebra vetorial, o gabarito ta certinho mesmo..
A distância de ponto ao plano no r3 é dada por d(P,α) = |PQ.n|/||n|| , onde n é a normal do plano, e Q um ponto qualquer do plano.
Vamos adotar o eixo xyz no ponto A, entao temos:
A(0,0,0) , B ( 4√10,0,0) , C ( 4√10,0,-4) , D( 0 , 0, -4√10) , V(2√10 , 6√10 , -2√10)
AD = D-A = (0,0,-4√10)
AV = V-A = (2√10, 6√10 , -2√10 )
a normal pode ser calculada pelo produto vetorial de AD e AV ,
n = ADxAV
n = (-3,-1,0)
sendo A um ponto do plano ADV, BA = (-4√10, 0 , 0), entao aplicando a fórmula temos:
d(B,α) = |BA.n| / ||n|| = | (-4√10, 0 , 0 ) (-3,-1,0)| / √10
d(B,α) = | 12√10| / √10
d(B,α) = 12 cm

Valeu Luck!

Pedi ajuda e o que disseram: