Geometria plana - FUVEST

por Guilherme_Rodrigues Seg 18 Mar 2013, 17:16

(FUVEST) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e prolongamento desses lados forma um ângulo de 60°.

imagem: http://diadematematica.com/vestibular/TEMP/GP_T2/E2950.BMP

a) Indicando por A, B, C e D, respectivamente, as medidas dos ângulos
internos do quadrilátero de vértices A, B, C e D, calcule a soma dos
ângulos A + B e C + D.
b) Sejam J o ponto médio do segmento DC, M o ponto médio do segmento AC e N o ponto médio do segmento BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MJN.

resposta: a) A + B = 120° e C + D = 240°
b) JM = JN = 1
c) MJN = 60°

por **raimundo pereira** Seg 18 Mar 2013, 20:15

O desenho dado me fez perder tempo. Acho que a figura certa é um trapézio isósceles como mostra o meu desenho.

Considerando um trapézio isósceles, temos AD=CD e prolongando seus lados fica formado um triângulo equilátero , com isso ficam determinado os ângulos Â e B =60º

Pela notação cíclica dos trapézios A+D=B+C=180º , então C=D^120º

JM e JN , são bases médias dos triângulos ADC e DCB por isso medem a metade de suas bases: JM=JN=2-1=1

ângulo MJN - sendo JM e JN paralelas a AD e BC respectivamente, determinan ângulos colaterais internos (suplemento de 120). Considerando o ângulo raso DJC temos 180-120=60º

att

por Guilherme_Rodrigues Seg 18 Mar 2013, 22:11

Raimundo, muito obrigado pela atenção e pela ajuda!
De fato, o que estava me dificultando realizar o exercício era não saber que o quadrilátero era um trapézio isósceles, contudo, como você pôde assumir que era mesmo um trapézio isósceles?
Muito obrigado!

por **raimundo pereira** Ter 19 Mar 2013, 10:33

Bom dia Guilherme ,
Na verdade eu tentei de todos os modos resolver não considerando um trapézio isósceles e não consegui , depois conclui que só chegaria ao resultado considerando ABCD isósceles . Não consegui ver a resolução considerando um quadrilátero qualquer , pode até ser possível , mas eu não vejo.

Outra coisa que não deixei claro. Porque APB é isósceles.
Chamando de P o ponto de concurso dos prolongamentos dos lados iguais, você traçando a altura do vértice P a base AB o triângulo fica dividido em dois triângulos com ângulos de 30/60 e 90.

por Guilherme_Rodrigues Ter 19 Mar 2013, 20:24

Sim! muito obrigado mesmo!
sucesso!

por **raimundo pereira** Ter 19 Mar 2013, 20:39

:bball:

por digoferrari1995@gmail.com Seg 21 Out 2013, 20:31

Raimundo, não necessariamente o quadrilátero precisa ser um trapézio.
Geometria plana - FUVEST C2vv

Sendo JM a reta que passa pelos lados DC e Ca do triângulo DCA temos que JM é paralela a DA e tem metade de seu valor.

JM é paralela a DA e intercepta o prolongamento CB,logo pela figura tem 60°.