Números primos

Um número natural N , ao ser decomposto em fatores primos , fica da forma (2 elevado a a)*(3 elevado a b)*(5 elevado a c) . Dividindo-o por 2, 3 e 5 , o número de divisores diminui de 24,18 e 12 , respectivamente . Determine o número N.

RESPOSTA: 337500

2k3d escreveu:Um número natural N , ao ser decomposto em fatores primos , fica da forma (2 elevado a a)*(3 elevado a b)*(5 elevado a c) . Dividindo-o por 2, 3 e 5 , o número de divisores diminui de 24,18 e 12 , respectivamente . Determine o número N.

RESPOSTA: 337500

Boa tarde,

N = 2^a * 3^b * 5^c ....... → Divisores de N ..................................... = (a+1)*(b+1)*(c+1) → I
N/2 = 2^(a-1) * 3^b * 5^c → Divisores de N/2 = (a-1+1)*(b+1)*(c+1) = a*(b+1)*(c+1) .... → II

(I) - (II) = [(b+1)(c+1)]*(a+1-a) = [(b+1)(c+1)]*1 = (b+1)(c+1) =

Fazendo de igual maneira quanto a N/3 e a N/5, obteremos finalmente:
(b+1)(c+1) = 24 → (III)
(a+1)(c+1) = 18 → (IV)
(a+1)(b+1) = 12 → (V)

Prossguindo, faremos (III)/(III):
(b+1)(c+1) = 24
--------------------
(a+1)(b+1) = 12

Resultando em:
(c+1)/(a+1) = 24/12 = 2
c+1 = 2(a+1)

Fazendo a substituição de (c+1) por 2(a+1) em (IV), fica:
(a+1)(c+1) = 18
(a+1)*2(a+1) = 18
2*(a+1)² = 18
(a+1)² = 18/2 = 9
a+1 = √9 = 3
a = 3-1
a = 2

(a+1)(c+1) = 18
(2+1)(c+1) = 18
3*(c+1) = 18
c+1 = 18/3 = 6
c = 6-1
c = 5

Fazendo c=5 em (III), obtém-se:
(b+1)(c+1) = 24
(b+1)(5+1) = 24
6*(b+1) = 24
b+1 = 24/6 = 4
b = 4-1
b = 3

Finalmente chegamos a:
N = 2^a * 3^b * 5^c
N = 2² * 3³ * 5⁵ = 4 * 27 * 3125
N = 337500






Um abraço.