Números primos

Sendo N/7^A uma divisão que gera um quociente exato, e N o produto dos 60 primeiros números naturais, a partir de 1, qual é o maior valor que pode assumir o expoente A?

Gabarito:

N/(7^A) pertence aos inteiros. devemos calcular o número de fatores 7 que aparece em N.
N = 1.2.3.4.5.6.7.(...).14.(...).21.(...)28.(...).35.(...).42.(...).49.(...).56.(...).60
perceba que eu escrevi acima todos os múltiplos de 7 que aparecem em N (Álem de alguns outros números). Logo, temos 8 múltiplos de 7 em N: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56. Mas perceba que 49=7*7. Portanto o & deve ser contado 2 vezes nesse múltiplo. Ou seja, há 9 fatores 7 em N. O maior numero A que devemos colocar para que N/(7^A) seja inteiro é nove, pois caso colocassemos 10, sobraria um fator 7 no denominador, não resultando em um número inteiro. Resposta, 9.
Espero ter ajudado.

Muito obrigado, Diego!

Eu preciso estudar mais.

Só para complementar, você também poderia utilizar a Fórmula de Legendre. Ela nos dá a quantidade de fatores ''n'' que aparece na decomposição de k!.

Só pra exemplificar: Vamos supor que queremos descobrir a quantidade de fatores 2 na decomposição de 6! (seis fatorial).

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 2 x 3 x 5 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 ::. Podemos ver facilmente que aparecem quatro fatores 2 na decomposição de 6!

Como 6! é um número consideravelmente pequeno, deu para fazer no braço mesmo. E se quiséssemos descobrir quantas vezes aparece o fator 2 na decomposição de 50! (cinquenta fatorial)?

Simples: 50/2 + 50/2² + 50/2³ + 50/2^4 + 50/2^5. Note que a próxima fração seria 50/64, o que não nos devolveria um número inteiro, e somente a parte inteira nos interessa. Ou seja:

50/2 = 25
50/4 = 12,5
50/16 = 3,1...
50/32= 1,...

50/2² + 50/2³ + 50/2^4 + 50/2^5 = 25 + 12 + 3 + 1 = 41. Ou seja, na decomposição de 50! (50x49x48x47x...x3x2x1) aparecem 41 fatores 2.

Agora tomando como exemplo a pergunta do amigo de cima, vamos aplicar a Fórmula de Legendre:

Se N é o produto dos 60 primeiros números naturais, iremos calcular quantas vezes o fator 7 aparece na decomposição de 60!

Para isso, temos que:

60/7¹ + 60/7² + 60/7³ ... Note que iremos anular esta última fração destacada, pois como o resultado seria ''zero vírgula alguma coisa'', esta função iria nos devolver zero, pois só nos interessa a parte inteira, ou seja, a que vem antes da vírgula.


Com isso temos que: 


60/7 + 60/49 = 8 + 1 = 9. Logo, na decomposição de N = 60! temos 9 fatores 7.


Espero ter ajudado, abraço.

De nada Zéh, a solução que o William colocou também é muito boa, mas é um pouco mais complexa. Essa tipo de solução é muito útil quando queremos calcular o numero de zeros que aparecem no final de determinado N!, mas isso é outro problema. Se você não entendeu o método para achar o número de fatores que o William usou há uma discussão sobre isso aqui: https://pir2.forumeiros.com/t18750-fatorial-quantidade-de-zeros#58919

Obrigado pessoal! Deu pra entender.