Área do Círculo e suas Partes

Trace OD, DC, DE

Sejam:

E, F, G pontos de tangência do círculo de centro D com reta AO, arco AB e arco OB.
H = ponto de encontro de OD com círculo menor.
P = pé da perpendcular baixada de D sobre OB
R = CO = CG = CB = OH
r = DE = DF = DG = OP = DH

Nos triângulos retângulos DPC e DEO:

DP² = DC² - PC² -----> DP² = (CG + GD)²- (CO - PC)² ----> DP² = (R + r)² - (R - r)² ----> DP² = 4Rr

OE² = OD² - DE² ----> OE² = (OH + DH)² - DE² -----> OE² = (R + r)² - r² -----> OE² = R² + 2Rr

OE = DP -----> OE² = DP² -----> R² + 2Rr = 4Rr ----> R² = 2Rr -----> R = 2r

Área do quadrante OAB -----> Sq = (1/4)*pi*(2R)² -----> Sq = pi*R²

Área do semi-circulo COB -----> Ss = (1/2)*pi*R² ------> Ss = pi*R²/2

Áea do círculo de centro D ------> S = pi*r² ----> S = pi*(R/2)²-----> S = pi*R²/4



Sq = S + Ss + S1 + S2 + S3 ------> pi*R² = pi*R²/4 + piR²/2 + S1 + S2 + S3 -----> pi*R²/4 = S1 + S2 + S3 ------> S = S1 + S2 + S3