Conjuntos
3 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Conjuntos
por Ivoski Sex 01 Mar 2013, 18:09
Como faço pra provar
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ C ?
Solução:
Vamos começar a mostrando que todo elemento do conjunto a esquerda é tambem elemento do conjunto a direita da igualdade.
Seja x ∊ A U (B ∩ C). Entao pela definição de intersecao, temos que x ∊ A e x ∊ (B ∩ C), simultaneamente
---> nao sei como continuar...
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ C ?
Solução:
Vamos começar a mostrando que todo elemento do conjunto a esquerda é tambem elemento do conjunto a direita da igualdade.
Seja x ∊ A U (B ∩ C). Entao pela definição de intersecao, temos que x ∊ A e x ∊ (B ∩ C), simultaneamente
---> nao sei como continuar...
Ivoski- Padawan
- Mensagens : 76
Data de inscrição : 16/10/2010
Idade : 41
Localização : Rio de Janeiro
Re: Conjuntos
por Luck Sex 01 Mar 2013, 18:53
Essa igualdade nao é verdade, basta fazer o diagrama e verá que nao é. Pela propriedade distributiva de conjuntos : A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C), verifique se é isto.
Luck- Grupo
Velhos amigos do Fórum
- Mensagens : 5322
Data de inscrição : 20/09/2009
Idade : 32
Localização : RJ
Re: Conjuntos
por Ivoski Sex 01 Mar 2013, 19:00
Sim, é mesmo! a questao pede pra determinar uma condição necessaria e suficiente pra que se tenha A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ C
Ivoski- Padawan
- Mensagens : 76
Data de inscrição : 16/10/2010
Idade : 41
Localização : Rio de Janeiro
Re: Conjuntos
por darkios Sex 01 Mar 2013, 19:08
Para qualquer x,
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) (distributiva da reunião em relação à interseção)
≠
(A U B) ∩ C = (C ∩ A) U (C ∩ B) (distributiva da interseção em relação à reunião)
Provando a primeira:
x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C) = x ∈(A U B) e x ∈(A U C)
Provando a segunda:
x ∈ C e x ∈(A U B) = x ∈(C ∩ A) ou x ∈(C ∩ B)
Creio que a proposição seja falsa.
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) (distributiva da reunião em relação à interseção)
≠
(A U B) ∩ C = (C ∩ A) U (C ∩ B) (distributiva da interseção em relação à reunião)
Provando a primeira:
x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C) = x ∈(A U B) e x ∈(A U C)
Provando a segunda:
x ∈ C e x ∈(A U B) = x ∈(C ∩ A) ou x ∈(C ∩ B)
Creio que a proposição seja falsa.
darkios- Iniciante
- Mensagens : 28
Data de inscrição : 04/02/2013
Idade : 29
Localização : São Paulo, SP, Brasil
Re: Conjuntos
por darkios Sex 01 Mar 2013, 19:13
.
Última edição por darkios em Sex 01 Mar 2013, 19:25, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : Resposta errada.)
darkios- Iniciante
- Mensagens : 28
Data de inscrição : 04/02/2013
Idade : 29
Localização : São Paulo, SP, Brasil
Re: Conjuntos
por Luck Sex 01 Mar 2013, 19:15
Ah entao nao é pra provar isso que vc postou, e sim em que condição acontece isso. Isso só acontece quando A = A∩C ( veja pelo diagrama de venn). Quanto à propriedade A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) vc pode provar usando tabela verdade.Ivoski escreveu:Sim, é mesmo! a questao pede pra determinar uma condição necessaria e suficiente pra que se tenha A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ C
Luck- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 5322
Data de inscrição : 20/09/2009
Idade : 32
Localização : RJ
Re: Conjuntos
por Ivoski Sex 01 Mar 2013, 19:28
obrigado Darkos e Luck
mas como chego a condiçao????
posso fazer assim?
A U (B ∩ C) ⊂ (A U B) ∩ C
se x ∈ A U (B ∩ C)
x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C)
se x ∈ A ⇒ x ∈ (A U B) mas nao implica que x ∈ (A U B) ∩ C
se x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A e x ∈ C
se x ∈ A e x ∈ C ⇒ x ∈ (A U B) ∩ C
agora verificando a condição:
(A U B) ∩ C ⊂ A U (B ∩ C)
seja x ∈ (A U B) ∩ C ⇒ x ∈ (A U B) e x ∈ C
se x ∈ (A U B) ⇒ x ∈ A ou x ∈ B
conclui se entao que x ∈ A e x ∈ C logo a condiçao é que A ⊂ C ???
esta certo este raciocinio?
mas como chego a condiçao????
posso fazer assim?
A U (B ∩ C) ⊂ (A U B) ∩ C
se x ∈ A U (B ∩ C)
x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C)
se x ∈ A ⇒ x ∈ (A U B) mas nao implica que x ∈ (A U B) ∩ C
se x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A e x ∈ C
se x ∈ A e x ∈ C ⇒ x ∈ (A U B) ∩ C
agora verificando a condição:
(A U B) ∩ C ⊂ A U (B ∩ C)
seja x ∈ (A U B) ∩ C ⇒ x ∈ (A U B) e x ∈ C
se x ∈ (A U B) ⇒ x ∈ A ou x ∈ B
conclui se entao que x ∈ A e x ∈ C logo a condiçao é que A ⊂ C ???
esta certo este raciocinio?
Ivoski- Padawan
- Mensagens : 76
Data de inscrição : 16/10/2010
Idade : 41
Localização : Rio de Janeiro
Re: Conjuntos
por Luck Sex 01 Mar 2013, 23:51
Ivoski escreveu:obrigado Darkos e Luck
mas como chego a condiçao????
posso fazer assim?
A U (B ∩ C) ⊂ (A U B) ∩ C
se x ∈ A U (B ∩ C)
x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C)
se x ∈ A ⇒ x ∈ (A U B) mas nao implica que x ∈ (A U B) ∩ C
se x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A e x ∈ C
se x ∈ A e x ∈ C ⇒ x ∈ (A U B) ∩ C
agora verificando a condição:
(A U B) ∩ C ⊂ A U (B ∩ C)
seja x ∈ (A U B) ∩ C ⇒ x ∈ (A U B) e x ∈ C
se x ∈ (A U B) ⇒ x ∈ A ou x ∈ B
conclui se entao que x ∈ A e x ∈ C logo a condiçao é que A ⊂ C ???
esta certo este raciocinio?
nessa parte : "se x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A e x ∈ C" nao seria " se x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ B e x ∈ C ? ... eu nao sei se ir por esse caminho para essa questao seria bom, porque o exercício nao pede pra provar a igualdade ,ele só quer a condição, vc pode enxergar rapidamente essa condição montando os dois diagramas de venn.
Luck- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 5322
Data de inscrição : 20/09/2009
Idade : 32
Localização : RJ
Tópicos semelhantesPiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
