ad1-angulo no triangulo retangulo

por rusilva Qua 20 Fev 2013, 05:26

Bom dia.

Sou novo por aqui. Gostaria de parabenizálos pelo blog.

Preciso resolvr esta questão, mas não consigo achar os valores corretos: num triangulo retangulo, a bissetriz interna do maior de seus angulos agudo é igual ao maior dos dois segmentos que ela determina no cateto oposto. Encontre os angulos que essa bissetriz forma com este cateto.

Desde já muito obrigado.

rubens

por NiltonGMJunior Qua 20 Fev 2013, 08:58

Primeiramente, seja bem vindo ao fórum, e agora à questão,

Como 2θ > pi/2 - 2θ, temos que:

ad1-angulo no triangulo retangulo 52888139

Aplicando a leis dos cossenos:

$\frac{x}{sen\theta }=\frac{x}{sen(\frac{\pi }{2}-2\theta )}\\\\\frac{1}{sen\theta}=\frac{1}{sen\frac{\pi}{2}\cdot cos2\theta-sen2\theta\cdot cos \frac{\pi}{2}}\\\\\frac{1}{sen\theta}=\frac{1}{cos2\theta}\\\\sen\theta=1-2sen^{2}\theta\\\\ 2sen^{2}\theta+sen\theta-1=0$

Resolvendo a equação de 2º grau temos que:

$sen\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow \theta=30^{o}\\\\sen\theta=-1\Rightarrow \theta=270^{o}$

Como a soma dos ângulos internas de um triângulo é sempre 180º, a segunda resposta é inválida, e, portanto, o ângulo θ é igual a 30º.

ad1-angulo no triangulo retangulo 75154924

Do triângulo retângulo menor temos que: α + θ + 90 = 180, então α = 60º. Como α + β = 180, temos que β = 120º.

Então os ângulos que a bissetriz forma com o cateto oposto são 60º e 120º.

por NiltonGMJunior Qua 20 Fev 2013, 10:36

Há ainda uma solução alternativa, que não envolve trigonometria:

Considere o triângulo ABC abaixo:

ad1-angulo no triangulo retangulo 52679906

Percebe-se que o triângulo ADB é isóceles, pois DA = DB, portanto:

$\widehat{DAB}=\widehat{ABD}=\theta$

E de ADB temos então que:

$2\theta + \pi - \alpha = \pi\Rightarrow 2\theta-\alpha=0$

Do triângulo retângulo BCD temos que:

$\alpha + \theta + \frac{\pi}{2}=\pi\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{2}-\theta$

Sustituindo essa segunda equação na primeira:

$2\theta - (\frac{\pi}{2}-\theta)=0\\\\3\theta=\frac{\pi}{2}\\\\\theta=\frac{\pi}{6}\Rightarrow 30^{o}$

e portanto:

$\alpha = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}=60^{0}$

Como os ângulos que procuramos são α e (π - α), nossa resposta é:

$\alpha=60^{0}\\\\ \pi-\alpha=120^{0}$