[Resolvido](CEFET/AL - 2007) Velocidade da Corrente

por **aryleudo** Qua 13 Fev 2013, 14:32

Sobre uma mesa perfeitamente lisa estava situada uma corrente de comprimento 2ℓ e massa m, inicialmente com um dos extremos fixado na própria mesa. No centro da mesa, existe uma abertura pela qual foi introduzida uma parte da citada corrente, referente ao extremo livre. Repentinamente, o extremo fixo foi liberado e a corrente começou a mover-se sob a ação do peso da parte da corrente que ficou dependurada. Calcule a velocidade da corrente no momento em que o comprimento da parte pendurada da corrente é x (com x < ℓ), onde g é a aceleração da gravidade.
(A) [Resolvido](CEFET/AL - 2007) Velocidade da Corrente 2%7D

[Resolvido](CEFET/AL - 2007) Velocidade da Corrente 2%7D

(B)

(C)

(D)

(E)

RESPOSTA:

Spoiler:

por **ramonss** Qua 13 Fev 2013, 15:02

Olá aryleudo...
Esse é um tipo de exercício em que a massa "varia".

Vamos calcular quanto o centro de massa desce.
Para isso, vamos ver aonde está o centro de massa quando a corrente desce x.

Tomando como referencial 0 a altura da mesa e o lado positivo para baixo:

Sendo "2" a parte da corrente ainda na mesa e "1" a parte caída da mesa.
Temos que m2/(2L - x) = m1/x:

$\\y_{CM}=\frac{m_1y_1 + m_2.y_2}{m_1 + m_2}\\\\\\y_{CM} = \frac{m_1.\frac{x}{2}+\frac{m_1(2L-x)}{x}.0}{m_1 + \frac{m_1(2L-x)}{x}}\\\\\\\boxed{y_{CM}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{2L}{x}}=\frac{x^2}{4L}}$

Agora é fácil.
Por torricelli ou conservação de energia:

$\\v = \sqrt{2g\Delta h} \Rightarrow v=\left ( 2g.\frac{x^2}{4L} \right )^{\frac{1}{2}}\\\\\\\boxed{v = \left ( \frac{gx^2}{2L} \right )^{\frac{1}{2}}}$

por **aryleudo** Qua 13 Fev 2013, 15:25

Primeiramente muito obrigado ramonss.

Agora gostaria de parabenizá-lo pela excelente solução e também não poderia deixar de observar que você está num nível muito bom.

Estou tentando dar uma "desenferrujada" nesse sentido você e alguns outros colegas de fórum estam me ajudando consideravelmente!

Tudo de bom...

Aryleudo (Ary).

por **Euclides** Qua 13 Fev 2013, 15:30

Está mesmo muito boa a solução do ramonss! Podemos escolher outro caminho com ajuda do cálculo:

$\\\frac{m}{2l}\cdot gx=ma\;\;\;\to\;\;\;a=\frac{gx}{2l}\\\\dv^2=2adx\;\;\;\to\;\;dv^2=2\cdot\frac{gx}{2l}\cdot dx\\\\v^2=\frac{g}{l}\int x.dx\;\;\;\to\;\;\;v^2=\frac{gx^2}{2l}+v_0^2\;\;\;\;\;\;v_0=0\\\\\\v=\sqrt{\frac{gx^2}{2l}}$