Números complexos

por Exp4nsion Seg 11 Fev 2013, 18:40

Não achei a sessão para complexos, então resolvi colocar em algebra. Eis o problema:

Sabe-se que dentre os complexos Z tais que |Z-(1+i)²|=K, o de maior módulo é Z = 5i. Então o de menor módulo é:
a) Z = -i
b) Z = i
c) Z = 2i
d) Z = - 2i
e) Z = i / 2

por **Elcioschin** Seg 11 Fev 2013, 19:09

O local correto é mesmo Álgebra

|Z- (1 + i)²| = K ----> Fazendo z = a + bi:

|a + bi - (1 + 2i + i)²| = K

K = |a + bi - 1 - 2i + 1|

K = |a + (b - 2)i|

K² = a² + (b - 2)² ----> K² = a² + b² - 4b + 4 ----> K² = b² - 4b + (4 - a²)

O de maior módulo é Z = 5i ----> a = 0 ---> b = 5 ----> |Z| = 5

Todos as alternativas possuem a = 0 ----> K² = b² - 4b + 4

Esta função é uma parábola com a concavidade voltada para cima. O valor mínimo ocorre no vértice:

bV = - (-4)/2*1 ----> bV = 2 ----> K²mín = 2² - 4.2 + 4 ---> K²mín = 0

Para b = 2 ----> Z = a + bi -----> Z = 0 + 2i ----> Z = 2i ----> Alternativa C