Geoplana

Olá amigos... Resolvi este exercício de Geoplana, usando valores arbitrários, e ficou de acordo com o gabarito que é alternativa D, mas gostaria de uma ajuda para generalizar as afirmações, pois fui me baseando nas propriedades do círculo inscrito e dos triângulos retângulos, mas to errando alguma coisa. No item (ii), por exemplo, achei que a hipotenusa pode ser escrita como a = b + c - 2r e o perímetro 2p = 2b + 2c - 2r, através do teorema de Pitágoras relacionei as equações anteriores, mas to errando alguma passagem... Vamos ao exercício:


(UFV/2010) Numa aula de geometria, um estudante considerou um triângulo retângulo. A partir do ponto médio da hipotenusa, traçou segmentos de reta perpendiculares aos catetos e concluiu que:
“Em qualquer triângulo retângulo, o ponto médio da hipotenusa é equidistante dos três vértices.”
Em seguida, o estudante considerou um outro triângulo retângulo, no qual fora inscrito um círculo. A partir da
decomposição desse triângulo em três triângulos, tendo como vértice comum o centro do círculo, concluiu que:
“Em qualquer triângulo retângulo, a medida do raio do círculo inscrito é igual ao produto
das medidas dos catetos dividido pela medida do perímetro do triângulo.”

Sobre essas duas conclusões do estudante, é CORRETO afirmar que:
a) apenas a segunda é verdadeira.
b) apenas a primeira é verdadeira.
c) ambas são falsas.
d) ambas são verdadeiras.

1) ´Correto

Todo triângulo retângulo ABC é inscritível numa semi-circunferência.
O ponto médio M da hipotenusa é o centro da circunferência circunscrita

Assim MA = MB = MC = R

2) Prova-se facilmente que r = (b + c - a)/2

Se r for ----> bc/(b + c + a) ------> bc/[(b + c) + a)] = ([(b + c) - a]/2 ----> 2bc = (b + c)² - a² ---> 2bc = (b² + c²) + 2bc - a² ---->

2bc = a² + 2bc - a² ----> 2bc = 2bc -----> OK ----> CORRETA

Obrigado Grande Mestre!

Através de sua resolução, achei outra forma de fazer o item II, veja:

a = (c - r) + (b - r)
a = b + c - 2r (i)

2p = a + b + c
2p = (b + c - 2r) + b + c
2p = 2b + 2c - 2r
2b + 2c = 2p + 2r (ii)

Por Pitágoras:
a² = b² + c²; subst. (i)
(b + c - 2r)² = b² + c²
2bc + 4r² = 4br + 4cr (/2)
bc + 2r² = r(2b + 2c); subst. (ii)
bc + 2r² = r(2p + 2r)
bc + 2r² = 2p.r + 2r² (cancelando o termo 2r²)
bc = 2p.r
r = bc/2p
Podemos, então, afirmar: “Em qualquer triângulo retângulo, a medida do raio do círculo inscrito é igual ao produto das medidas dos catetos dividido pela medida do perímetro do triângulo.”

Abraços, obrigado!

diolinho

Solução corretíssima