IME 1999- Função quadrática

por iaguete Dom 10 Fev 2013, 16:53

Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas : g(x)=3x-4 ; h(x)=f(g(x))=9x²-6x+1. Determine a função f(x).
Por favor o máximo bem explicado.

por Luck Dom 10 Fev 2013, 17:01

g(x) = 3x - 4

f(g(x) ) = 9x² - 6x + 1
seja g(x) = t, temos então:
3x - 4 = t --> x = (t+4)/3

f(t) = 9[(t+4)/3 ]² - 6(t+4)/3 + 1
f(t) = (t+4)² - 2(t+4) + 1
f(x) = (x+4)² - 2(x+4) + 1
f(x) = (x² + 8x + 16) - 2x - 8 + 1
f(x) = x² + 6x + 9
f(x) = (x+3)²

por **Elcioschin** Dom 10 Fev 2013, 17:15

f(x) = ax² + bx + c

g(x) = 3x - 4

f(g(x)) = a(3x - 4)² + b(3x - 4) + c

9x² - 6x + 1 = a(9x² - 24x + 16) + 3bx - 4b + c

9x² - 6x + 1 = 9ax² - 24ax + 16a + 3bx - 4b + c

9x² - 6x + 1 = 9ax² + (3b - 24a)x + 16a - 4b + c

Commparando termo a termo:

9a = 9 ---> a = 1

3b - 24a = - 6 ----> 3b - 24*1 = - 6 ----> b = 6

16a - 4b + c = 1 ----> 16*1 - 4*6 + c = 1 ----> c = 9

f(x) = x² + 6x 9

por **Robson Jr.** Dom 10 Fev 2013, 17:16

Luck escreveu:g(x) = 3x - 4

f(g(x) ) = 9x² - 6x + 1
seja g(x) = t, temos então:
3x - 4 = t --> x = (t+4)/3

f(t) = [9(t+4)/3 ]² - 6(t+4)/3 + 1
f(t) = 9(t+4)² - 2(t+4) + 1
f(x) = 9(x+4)² - 2(x+4) + 1
f(x) = 9(x² + 8x + 16) - 2x - 8 + 1
f(x) = 9x² + 72x + 144 - 2x - 7
f(x) = 9x² + 70x + 137

O Luck cometeu um pequeno deslize no trecho em vermelho. O correto seria:

f(t) = 9[(t+4)/3]² - 6(t+4)/3 + 1

O raciocínio em si está correto; é a resolução recomendada para esse tipo de questão.

Deixo uma solução alternativa:

Spoiler:

por Luck Dom 10 Fev 2013, 17:19

iaguete escreveu:Uma pergunta boba rapidinho, sempre que ele me der a função composta e pedir a de fora, eu posso fazer esse metodo de igualar a de dentro a uma letra, caso ele ja tenha me dado a de dentro ?

Nao deu pra entender direito sua pergunta.. mas a mudança de incógnita serve apenas pra facilitar a resolução. Em uma função vc pode substituir quaisquer valores, por exemplo: f(x) = x + 4, vc pode trocar x por x+3 ficando assim : f(x+3) = x + 7 mesma coisa nesse exercício pra achar f(x). Vc podia fazer direto tb:
f(g(x) ) = 9x² - 6x + 1
f(3x-4) = 9x² - 6x + 1,
trocando x por x = (x+4)/3 :
f( 3[(x+4)/3] - 4 ) = 9[(x+4)/3]² - 6(x+4)/3 + 1 --> f(x) = 3(x+4)² - 2(x+4) + 1 (...)
PS: tinha errado na primeira mensagem ao substituir, vou editar.