Somatório

por theblackmamba Qua 06 Fev 2013, 16:55

Calcule o valor da soma:
$\sum_{k=1}^{4013}\frac{1}{2005^{k-2007}}$

Spoiler:

por DeadLine_Master Dom 10 Fev 2013, 23:55

Seja S a soma pedida. Desenvolvendo o somatório temos:

$S = \frac{1}{2005^{-2006}} + \frac{1}{2005^{-2005}} + \frac{1}{2005^{-2004}} + ... + \frac{1}{2005^{2005}} + \frac{1}{2005^{2006}}$

O que equivale a uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1/(2005^-2006) = 2005^2006 , último termo igual a 1/(2005^2006) e razão igual a 1/2005. Temos então:

$S = \dfrac{2005^{-2006}.2005^{-1} - 2005^{2006}}{\dfrac{1}{2005} - 1} = \dfrac{2005^{2007} - 2005^{-2006}}{2004}\approx \dfrac{2005^{2007}}{2004}$

Não chegou nem perto do gabarito. Dá uma conferida no enunciado e na minha resolução para ver se tem alguma coisa errada.

por theblackmamba Seg 11 Fev 2013, 21:14

Olá,
Eu concordo o que você fez!

O que aconteceu foi que eu cometi um erro grave no enunciado. O certo é:

$\sum_{k=1}^{4013}\frac{1}{2005^{k-2007}+1}$

Abraço.

por Luck Seg 11 Fev 2013, 21:34

theblackmamba escreveu:Olá,
Eu concordo o que você fez!

O que aconteceu foi que eu cometi um erro grave no enunciado. O certo é:

$Somatório Gif$

Abraço.

ahh, agora muda tudo!

veja que para k =1 --> 1/ [ 2005^(-2006) + 1 ] = [2005^(2006) ] /[ 2005^(2006) + 1 ]
para k = 4013 --> 1 / [ 2005^2006 + 1]
somando = [(2005)^(2006) + 1] / [ 2005^2006 + 1] = 1

para k =2, [2005^(2005) ] / [(2005)^(2005) + 1 ]
para k = 4012 , 1/ [ 2005^(2005) + 1]
somando [ 2005^(2005) + 1] / [ 2005^(2005) + 1] = 1
assim, a soma dos termos equidistantes vale 1.

o termo do meio é o único que sobra: (4014)/2 = 2007

1 / (2005^0 + 1) = 0,5
Logo, a soma vale (4012/2) + 0,5 = 2006,5 = (4013)/2

por Conteúdo patrocinado

Somatório

Somatório

Re: Somatório

Re: Somatório

Re: Somatório

Re: Somatório

Um fórum livre e democrático.