M.D.C. - (todos os valores)

por Paulo Testoni Sex 11 Dez 2009, 22:10

Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que mdc(a, b) = 5 e o
mmc(a, b) = 105.
a) Qual é o valor de b, se a = 35?
b) Encontre todos os valores possíveis para (a, b).

por **ivomilton** Sáb 12 Dez 2009, 12:44

Robalo escreveu:Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que mdc(a, b) = 5 e o mmc(a, b) = 105.
a) Qual é o valor de b, se a = 35?
b) Encontre todos os valores possíveis para (a, b).

Bom dia...

M = mmc(a.b)
D = mdc(a,b)

a = p.D = 5.p
b = q.D = 5.q

ab = pq.D² = 25.pq
ab = M.D = 105.5 = 525

25.pq = 525
pq = 525/25 = 21

Divisores de 21 = 1, 3, 7, 21

Possíveis valores de "p" e "q":
p = 1 ou 3
q = 21 ou 7

Valores que "a" e "b" podem adquirir:
a' = 5.p' = 5.1 = 5
a" = 5.p" = 5.3 = 15
b' = 5.q' = 5.21 = 105
b" = 5.q" = 5.7 = 35

Nota: É óbvio que os valores de "a" e "b" podem ser trocados entre si.

Respostas:

a) Se "a" for igual a 35, "b" será igual a 15.

b) (a,b) = { (5,105) ; (105,5) ; (15,35) ; (35,15) }

Um abraço.

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