um círculo

por lucas.alves Seg 21 Jan 2013, 18:32

um círculo de raio r é tangente ao lado cd de um quadrado abcd e passa pelos pontos a e b.o lado do quadrado é igual a: a)2r/5 b)4r/5 c)6r/5 d)8r/5 e)2r

por **Euclides** Seg 21 Jan 2013, 20:11

$\\\sin\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\;\;\;\;\;\to\;\;\;\sin(2\alpha)=\frac{4}{5}\\\\\\\sin(2\alpha)=\frac{\frac{a}{2}}{r}\;\;\to\;\;\frac{a}{2r}=\frac{4}{5}\;\;\to\;\;\boxed{a=\frac{8r}{5}}$

PS: não explicitei todas as passagens trigonométricas. Talvez haja uma solução Euclidiana que eu não vi.

por **raimundo pereira** Seg 21 Jan 2013, 20:26

:bball: 10².

por **raimundo pereira** Ter 22 Jan 2013, 08:00

Bom dia mestre Euclides ,
depois que você postou o "pulo do gato" dessa questão , posição do círculo em relação ao quadrado, consegui ver uma solução Euclidiana. Depois eu posto. :vfg:

por **raimundo pereira** Ter 22 Jan 2013, 16:36

Aproveitando a figura do mestre Euclides.
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo BEF foi calculado o lado do triângulo isósceles inscrito. BE=CE=aV5/2
Podemos ver que o centro do círculo também é o circuncentro do triângulo isósceles BEC .
Se O é o circuncentro de BEC, então sua área pode ser calculada pela fórmula. S= a.b.c/4R . Mas, também podemos calcular a área de BEC por S1=b.h/2

Então estamos falando da mesma área , ou seja: S=S1
{(AV5/2).(aV5/2).a}/4R=a.a/2---->onde os lados iguais do triângulo BEC=aV5/2, a (base) e a ( altura)

2R=5a/4----> a=8R/5

circuncentro - ponto de concurso das mediatrizes de um triângulo inscrito numa circunferência, e centro do círculo circunscrito.