Método de Newton–Raphson -aplicação

Relembrando a primeira mensagem :

Por política de vendas a prazo, uma loja aumenta em 25% o valor à vista . Desse valor aumentado,20% é pago como entrada e o saldo restante é dividido em seis prestações mensais iguais. Determinar a taxa de juros efetiva mensal cobrada no financiamento.

Resp.: 8,8950% a.m.

Obrigado.

História(¹)

Joseph Raphson foi um matemático inglês, mais conhecido pelo método de Newton–Raphson.

Pouco se sabe sobre sua vida, nem mesmo os anos exatos de seu nascimento e morte, embora o historiador matemático Florian Cajori tenha estimado 1648–1715.

Foi nomeado Fellow da Royal Society em 30 de novembro de 1689, após propostas de adesão feitas por Edmund Halley (o astrônomo do cometa...)

O trabalho de Raphson mais notável é a análise Aequationum Universalis, que foi publicado em 1690.

Ele contém o método, agora conhecido como o método de Newton–Raphson, para aproximar as raízes de uma equação.

Isaac Newton tinha desenvolvido uma fórmula muito semelhante em seu método de Fluxões, escrito em 1671, mas este trabalho não seria publicado até 1736, quase 50 anos depois da análise de Raphson.

No entanto, a versão de Raphson é mais simples do que a de Newton, é, portanto, geralmente considerada superior.

Por esta razão, é a versão de Raphson, em vez da de Newton, que pode ser encontrada em livros didáticos de hoje.

Raphson foi um ferrenho defensor da reivindicação de Newton e não da de Gottfried Leibniz, de ser o único inventor do cálculo...

Além disso, Raphson traduziu para o inglês (do latim) uma obra de Newton, a  Arithmetica Universalis.


O Método

Feitas essas considerações históricas, vamos, então, ao método de Raphson-Newton !

Vamos Lá !


Seja f(x) uma função real de uma única variável real:

f(x) = x² - 2

Seja S o conjunto das soluções da equação f(x) = 0 .   

x² - 2 = 0

x² = 2

S = { -√(2); √(2) }

Mas quanto é "a raiz quadrada de 2" ?

Quem se lembra do algoritmo para a raiz quadrada, pode saber...

Mas, e quem não se lembra ? E se fosse raiz quarta ?

Dá pra "ver" que é alguma coisa entre 1 e 2 ...

Vamos começar traçando uma tangente que passe por um ponto Po (xo; yo) qualquer.

Vamos "chutar longe" :

xo = 3

Logo:

yo = 3² - 2 = 9 - 2 = 7

Po = (3; 7)

Seja o gráfico de f(x) :



Sabemos que a função derivada no ponto xo é o coeficiente angular m da reta que tangencia f(x) em P(xo; yo):

f (x) = x² - 2

f ' (x) = 2x

f ' (3) = 2.3 = 6

Mas o coeficiente angular também é dado por:

m = ∆y / ∆x

Então:

∆y / ∆x = f ' (xo)

Destrinchando:

( yo - 0 ) / (xo - x1) = f ' (xo)

Vamos explicitar x1, que é nossa primeira aproximação:

yo / f ' (xo) = xo - x1

x1 = xo - yo / f ' (xo)

Como:

yo = f(xo)

Ficamos com:


x1 = xo - f (xo) / f ' (xo)


Que é a fórmula recursiva do método.
 
Fazemos agora com x1, achando um valor mais próximo x2:

x2 = x1 - f (x1) / f ' (x1)

E continuamos até estarmos satisfeitos com a precisão.

Graficamente:



Agora vamos para a calculeira, nos satisfazendo com a precisão de 3 casas decimais:


x1 = xo - f(x0) / f ' (xo)

x1 = xo - (xo² - 2) / 2xo

1ª) x1 = 3 - (3² - 2) / (2.3) = 3 - 7/6 = 11 / 6 = 1,8333...

2ª) x2 = 1,8333 - (1,8333² - 2) / (2 . 1,8333) = 1,8333 - (3,3611 - 2) / (2.1,8333) = 1,4621...

3ª) x3 = 1,4621 - (1,4621² - 2) / (2 . 1,4621) = 1,4149...

4ª) x4 = 1,4149 - (1,4149² - 2) / (2 . 1,4149) = 1,4142... OPA !

O 1,414 se manteve ! Paramos aqui ! Até a 3ª casa decimal está correto !


Vamos colocar a fórmula de uma forma mais operacional, para quem quiser usar este método de raiz quadrada a partir de hoje:

Seja N agora o número de quem queremos a raiz quadrada:

x1 = xo - (xo² - N) / 2xo

x1 = xo - xo²/2xo + N/2xo

x1 = xo - xo/2 + N/2xo

x1 = xo/2 + N/2xo

x1 = (N/xo + xo)/2


Assim fica bem mais fácil !

Algoritmo para achar raiz quadrada em máquinas simples que não têm essa função e tenham, ao menos, uma memória:

0 ) Zeramos a máquina (visor, memórias...)

1 ) Entramos com xo

2 ) Armazenamos xo (colocamos na memória)

3 ) Entramos com N

4 ) ÷

5 ) Recuperamos xo (pegamos da memória)

6 ) =  +

7 ) Recuperamos xo (pegamos da memória)

8 ) = ÷ 2 =

9 ) Esse resultado colocamos na memória, é o x1

10) Se a precisão não for a que queremos ,voltamos para o passo (3), senão, chega ! Fim !


Para vocês experimentarem o método de Raphson-Newton:

a) Achem a raiz da função:

f(x) = x³ - x² - x - 1

Dica Gráfica para o primeiro chute...






b) Achem ∛(3) e sintetizem um algoritmo prático.


(¹) Traduzido livremente e adaptado de  http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Raphson, acessado em 04/01/2013.

rihan escreveu:Olá Jota-R,

Ok !

Tudo compreendido !

Mas, repare o meu item (2) e o que você escreveu:

... e também para mostrar aos que não conhecem o método o quão trabalho ele
é, segue sua aplicação com x1 = 4,5 (conf. sua sugestão) e x1 = 8 (valor
próximo à resposta do exercício)...

Saudações !

Olá, Rahan.

Vejamos o item 2 de seu post:

Quando eu disse que eu usaria o coeficiente do termo de mais alto grau, o disse para você dar a estimativa para o PROGRAMA que vai fazer as contas, seja ele da calculadora ou da planilha ou outro qualquer. Certamente ele — o programa — não fará mais de 20 iterações, o que, com a velocidade das CPUs atuais, significa um tempo bem inferior a 1 segundo...

Não trabalho com programas, planilhas ou coisa que o valha, pois, como já lhe disse, sou praticamente nulo no uso dessas ferramentas.

Para estes tipos de polinômios, o único risco fatal no método de Newton é quando você dá uma estimativa inicial numa "região de sela". Não vai convergir jamais...

Tem como evitar tal inconveniente, não? Se, no exame do gráfico da função, houver qualquer dúvida, pode-se verificar, algebricamente, se a estimativa escolhida é um ponto de sela e, em caso afirmativo, adotar outra estimativa fora da vizinhança da primeira. Falei besteira? É óbvio que isso iria retardar ainda mais o processo, que , por si só, já é demasiadamente demorado.

Por esse motivo relembrei a você a forma desses polinômios e, mesmo sem saber isso, basta "olhar" :

4,5x6 - x5 - x4 - x3 - x2 - x - 1 = 0

A raiz é menor que 4,5...

Apenas usei seu palpite e adotei esse valor para x1, para verificar se, pelo método convencional, a convergência ocorreria de forma mais rápida do que usando x1 = 8. E, de fato, ocorreu.



Agora, para se calcular com máquina que só tenha as operações básicas (+, -, x, ÷) eu daria um chute inicial bem mais apurado...

4,5x6 - x5 - x4 - x3 - x2 - x - 1 = 0

Vamos chamar o coeficiente de mais alto grau (4,5) de β.

Ele nada mais é do que o valor inicial do fluxo de caixa (capital, principal, valor presente,...) dividido pelo pagamento fixo (prestação, "anuidade", amortização, rendimento...):

β ≡ Vo/P

Se β for igual a n, x = 1 e o juro é zero.

Se β for igual a 1, x ≈1,62 (x = φ !) (j = Φ !) para n = 2, x ≈ 1,84 para n = 3 e, a partir de n = 4, vai tendendo a 2.

Quando n > 13 , j ≈ 1 / β isto é: P / Vo , logo o melhor chute seria:

xo = 1 + 1/β = (β + 1)/β

xo = 5,5 / 4,5 = 1,222...

Isso vai dando informações para um melhor "chute".

Mas, o melhor chute, quando não cai nesses casos, é:

xo = 1 + 1/2n = (2n+1)/2n

Vamos ver:

n = 6

xo = 13/12 = 1,08333...

Pertinho, né ?

Muito bons seus "macetes" para estimar o valor inicial de x. Não os conhecia.
Mas, insisto:

O mais racional é entrar com (n; Vo; P) apertar um botão, ou falar "faça !" ou encostar o dedo numa tela sensível ao toque e quase imediatamente receber a taxa...

Desde oi idos de 1970 isto já está acessível, não há sentido em "fórmulas" de Fulano, Cicrano...

Para mim é como se fôssemos calcular funções trigonométricas ou logarítmicas através de séries...

Não faz qualquer sentido mesmo.

Você é o que se pode chamar de um "matemático progressista". Eu, humildemente, considero-me mais conservador.


Bom final de semana.
Um abraço.

Salve Jota-R !!!

Creio que não fui muito claro...

Referi-me a esse "item (2)"

rihan escreveu:Eu creio que você não leu direito o que eu escrevi...

1) Mas, a melhor forma é usar uma calculadora financeira ou planilha eletrônica. Fazer contaiada é pra máquina...

2) x ≡ 1 + j <------------ É ESSE AQUI !

E à sua distração ao fazer: xo = 8 (!)

Ao invés de:

xo = 1 + jo

xo = 1 + 8% = 1 + 0,08

xo = 1,08

Se não tivesse se distraído, teríamos:

f(x) = βx⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1

f'(x) = 6βx⁵ - 5x⁴ - 4x³ - 3x² - 2x - 1

x1 = xo - f (x) / f '(x)

x1 = xo - ( βx⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1 ) / ( 6βx⁵ - 5x⁴ - 4x³ - 3x² - 2x - 1 )

1ª) xo = 1,080000 --> x1 = 1,089210

2ª) x1 = 1,089210 --> x2 = 1,089950

3ª) x2 = 1,089950 --> x3 = 1,089950 <----------- PAROU !


E, se tivesse dado um chute mais certeiro, do tipo xo =1, em vez do xo = 4,5:

1ª) xo = 1,000000 --> x1 = 1,125000

2ª) x1 = 1,125000 --> x2 = 1,092585

3ª) x2 = 1,092585 --> x3 = 1,089950

4ª) x3 = 1,089950 --> x4 = 1,089950 <----------- PAROU !


O que não é tão trabalhoso... ainda mais se as facilidades computacionais do século XXI forem usadas...

Saudações esclarecedoras !

rihan escreveu:Salve Jota-R !!!

Creio que não fui muito claro...

Referi-me a esse "item (2)"

rihan escreveu:Eu creio que você não leu direito o que eu escrevi...

1) Mas, a melhor forma é usar uma calculadora financeira ou planilha eletrônica. Fazer contaiada é pra máquina...

2) x ≡ 1 + j <------------ É ESSE AQUI !

E à sua distração ao fazer: xo = 8 (!)

Ao invés de:

xo = 1 + jo

xo = 1 + 8% = 1 + 0,08

xo = 1,08

Se não tivesse se distraído, teríamos:

f(x) = βx⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1

f'(x) = 6βx⁵ - 5x⁴ - 4x³ - 3x² - 2x - 1

x1 = xo - f (x) / f '(x)

x1 = xo - ( βx⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1 ) / ( 6βx⁵ - 5x⁴ - 4x³ - 3x² - 2x - 1 )

1ª) xo = 1,080000 --> x1 = 1,089210

2ª) x1 = 1,089210 --> x2 = 1,089950

3ª) x2 = 1,089950 --> x3 = 1,089950 <----------- PAROU !


E, se tivesse dado um chute mais certeiro, do tipo xo =1, em vez do xo = 4,5:

1ª) xo = 1,000000 --> x1 = 1,125000

2ª) x1 = 1,125000 --> x2 = 1,092585

3ª) x2 = 1,092585 --> x3 = 1,089950

4ª) x3 = 1,089950 --> x4 = 1,089950 <----------- PAROU !


O que não é tão trabalhoso... ainda mais se as facilidades computacionais do século XXI forem usadas...

Saudações esclarecedoras !

Olá, Rihan.

Pois é cara. O pior é que também fiz xo = 4,5%, em vez de x0 = 1,045. Mereci sofrer com a contaiada que tive que fazer.

Saudações assimiladoras.

Abração.

rihan escreveu:Eu creio que você não leu direito o que eu escrevi...

1) Mas, a melhor forma é usar uma calculadora financeira ou planilha eletrônica. Fazer contaiada é pra máquina...

2) x ≡ 1 + j

Quando eu disse que eu usaria o coeficiente do termo de mais alto grau, o disse para você dar a estimativa para o PROGRAMA que vai fazer as contas, seja ele da calculadora ou da planilha ou outro qualquer. Certamente ele — o programa — não fará mais de 20 iterações, o que, com a velocidade das CPUs atuais, significa um tempo bem inferior a 1 segundo...

Para estes tipos de polinômios, o único risco fatal no método de Newton é quando você dá uma estimativa inicial numa "região de sela":



Não vai convergir jamais...

Por esse motivo relembrei a você a forma desses polinômios e, mesmo sem saber isso, basta "olhar" :

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1 = 0

A raiz é menor que 4,5...

Agora, para se calcular com máquina que só tenha as operações básicas (+, -, x, ÷) eu daria um chute inicial bem mais apurado...

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1 = 0

Vamos chamar o coeficiente de mais alto grau (4,5) de β.

Ele nada mais é do que o valor inicial do fluxo de caixa (capital, principal, valor presente,...) dividido pelo pagamento fixo (prestação, "anuidade", amortização, rendimento...):

β ≡ Vo/P

Se β for igual a n, x = 1 e o juro é zero.

Se β for igual a 1, x ≈1,62 (x = φ !) (j = Φ !) para n = 2, x ≈ 1,84 para n = 3 e, a partir de n = 4, vai tendendo a 2.

Quando n > 13 , j ≈ 1 / β isto é: P / Vo , logo o melhor chute seria:

xo = 1 + 1/β = (β + 1)/β

xo = 5,5 / 4,5 = 1,222...

Isso vai dando informações para um melhor "chute".

Mas, o melhor chute, quando não cai nesses casos, é:

xo = 1 + 1/2n = (2n+1)/2n

Vamos ver:

n = 6

xo = 13/12 = 1,08333...

Pertinho, né ?

Mas, insisto:

O mais racional é entrar com (n; Vo; P) apertar um botão, ou falar "faça !" ou encostar o dedo numa tela sensível ao toque e quase imediatamente receber a taxa...

Desde oi idos de 1970 isto já está acessível, não há sentido em "fórmulas" de Fulano, Cicrano...

Para mim é como se fôssemos calcular funções trigonométricas ou logarítmicas através de séries...

Não faz qualquer sentido mesmo.

Saudações festivas !

Caro Rihan, boa tarde.

Que ferramenta o amigo usa para desenhar esses gráficos tão bacanas?

Bom final de semana.

Um abraço.

Acho que é o graphmatica

Leonardo Sueiro escreveu:Acho que é o graphmatica

Olá.

Obrigado Leo.

Um abraço.

Uso o dinamarquês Graph.  Bonzinho, multilingual e gratuito.



Download aqui: http://www.padowan.dk/bin/SetupGraph-4.4.2.exe

rihan escreveu:Uso o dinamarquês Graph.  Bonzinho, multilingual e gratuito.



Download aqui: http://www.padowan.dk/bin/SetupGraph-4.4.2.exe

Olá, Rihan.

Já baixei o programa. Agora vou tentar entendê-lo.

Obrigado, amigão.

Grande abraço.