Método Newton-Raphson - RAÍZES

História(¹)

Joseph Raphson foi um matemático inglês, mais conhecido pelo método de Newton–Raphson.

Pouco se sabe sobre sua vida, nem mesmo os anos exatos de seu nascimento e morte, embora o historiador matemático Florian Cajori tenha estimado 1648–1715.

Foi nomeado Fellow da Royal Society em 30 de novembro de 1689, após propostas de adesão feitas por Edmund Halley (o astrônomo do cometa...)

O trabalho de Raphson mais notável é a análise Aequationum Universalis, que foi publicado em 1690.

Ele contém o método, agora conhecido como o método de Newton–Raphson, para aproximar as raízes de uma equação.

Isaac Newton tinha desenvolvido uma fórmula muito semelhante em seu método de Fluxões, escrito em 1671, mas este trabalho não seria publicado até 1736, quase 50 anos depois da análise de Raphson.

No entanto, a versão de Raphson é mais simples do que a de Newton, é, portanto, geralmente considerada superior.

Por esta razão, é a versão de Raphson, em vez da de Newton, que pode ser encontrada em livros didáticos de hoje.

Raphson foi um ferrenho defensor da reivindicação de Newton e não da de Gottfried Leibniz, de ser o único inventor do cálculo...

Além disso, Raphson traduziu para o inglês (do latim) uma obra de Newton, a  Arithmetica Universalis.


O Método

Feitas essas considerações históricas, vamos, então, ao método de Raphson-Newton !

Vamos Lá !


Seja f(x) uma função real de uma única variável real:

f(x) = x² - 2

Seja S o conjunto das soluções da equação f(x) = 0 .   

x² - 2 = 0

x² = 2

S = { -√(2); √(2) }

Mas quanto é "a raiz quadrada de 2" ?

Quem se lembra do algoritmo para a raiz quadrada, pode saber...

Mas, e quem não se lembra ? E se fosse raiz quarta ?

Dá pra "ver" que é alguma coisa entre 1 e 2 ...

Vamos começar traçando uma tangente que passe por um ponto Po (xo; yo) qualquer.

Vamos "chutar longe" :

xo = 3

Logo:

yo = 3² - 2 = 9 - 2 = 7

Po = (3; 7)

Seja o gráfico de f(x) :



Sabemos que a função derivada no ponto xo é o coeficiente angular m da reta que tangencia f(x) em P(xo; yo):

f (x) = x² - 2

f ' (x) = 2x

f ' (3) = 2.3 = 6

Mas o coeficiente angular também é dado por:

m = ∆y / ∆x

Então:

∆y / ∆x = f ' (xo)

Destrinchando:

( yo - 0 ) / (xo - x1) = f ' (xo)

Vamos explicitar x1, que é nossa primeira aproximação:

yo / f ' (xo) = xo - x1

x1 = xo - yo / f ' (xo)

Como:

yo = f(xo)

Ficamos com:


x1 = xo - f (xo) / f ' (xo)


Que é a fórmula recursiva do método.
 
Fazemos agora com x1, achando um valor mais próximo x2:

x2 = x1 - f (x1) / f ' (x1)

E continuamos até estarmos satisfeitos com a precisão.

Graficamente:



Agora vamos para a calculeira, nos satisfazendo com a precisão de 3 casas decimais:


x1 = xo - f(x0) / f ' (xo)

x1 = xo - (xo² - 2) / 2xo

1ª) x1 = 3 - (3² - 2) / (2.3) = 3 - 7/6 = 11 / 6 = 1,8333...

2ª) x2 = 1,8333 - (1,8333² - 2) / (2 . 1,8333) = 1,8333 - (3,3611 - 2) / (2.1,8333) = 1,4621...

3ª) x3 = 1,4621 - (1,4621² - 2) / (2 . 1,4621) = 1,4149...

4ª) x4 = 1,4149 - (1,4149² - 2) / (2 . 1,4149) = 1,4142... OPA !

O 1,414 se manteve ! Paramos aqui ! Até a 3ª casa decimal está correto !


Vamos colocar a fórmula de uma forma mais operacional, para quem quiser usar este método de raiz quadrada a partir de hoje:

Seja N agora o número de quem queremos a raiz quadrada:

x1 = xo - (xo² - N) / 2xo

x1 = xo - xo²/2xo + N/2xo

x1 = xo - xo/2 + N/2xo

x1 = xo/2 + N/2xo

x1 = (N/xo + xo)/2


Assim fica bem mais fácil !

Algoritmo para achar raiz quadrada em máquinas simples que não têm essa função e tenham, ao menos, uma memória:

0 ) Zeramos a máquina (visor, memórias...)

1 ) Entramos com xo

2 ) Armazenamos xo (colocamos na memória)

3 ) Entramos com N

4 ) ÷

5 ) Recuperamos xo (pegamos da memória)

6 ) =  +

7 ) Recuperamos xo (pegamos da memória)

8 ) = ÷ 2 =

9 ) Esse resultado colocamos na memória, é o x1

10) Se a precisão não for a que queremos ,voltamos para o passo (3), senão, chega ! Fim !


Para vocês experimentarem o método de Raphson-Newton:

a) Achem a raiz da função:

f(x) = x³ - x² - x - 1

Dica Gráfica para o primeiro chute...






b) Achem ∛(3) e sintetizem um algoritmo prático.


(¹) Traduzido livremente e adaptado de  http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Raphson, acessado em 04/01/2013.

Excelente tópico.


Merecia ir pro "MAIS"

Já está lá. Eu já havia mesmo apagado esta versão, mas o rihan quis recolocar.

Não quis recolocar.

Estava tentando fazer o que você me orientou a fazer, mas meus "poderes" despareceram, não posso nem excluir esse aqui...

Por mim, pode excluir.