Método de Newton–Raphson -aplicação

Por política de vendas a prazo, uma loja aumenta em 25% o valor à vista . Desse valor aumentado,20% é pago como entrada e o saldo restante é dividido em seis prestações mensais iguais. Determinar a taxa de juros efetiva mensal cobrada no financiamento.

Resp.: 8,8950% a.m.

Obrigado.

(V + 25%V) = V(1 + 0,25) = 1,25V

E = 20%(1,25V) = 0,20 . 1,25V = 0,25V

Vo = 1,25V - E = 1,25V - 0,25V = V

P = V/6 = Vo/6

x ≡ (1 + j)

Vo.x⁶ - 0,25Vo.x⁶ - Vox⁵/6 -Vo.x⁴/6 - Vo.x³/6 -Vo.x²/6 -Vo.x/6 - Vo/6 = 0

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1 = 0

A solução numérica (Newton, aproximações sucessivas...):

x ≈ 1,08895

j ≈ 0,08895

j ≈ 8,895 % a.m.

rihan escreveu:(V + 25%V) = V(1 + 0,25) = 1,25V

E = 20%(1,25V) = 0,20 . 1,25V = 0,25V

Vo = 1,25V - E = 1,25V - 0,25V = V

P = V/6 = Vo/6

x ≡ (1 + j)

Vo.x⁶ - 0,25Vo.x⁶ - Vox⁵/6 -Vo.x⁴/6 - Vo.x³/6 -Vo.x²/6 -Vo.x/6 - Vo/6 = 0

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1 = 0

A solução numérica (Newton, aproximações sucessivas...):

x ≈ 1,08895

j ≈ 0,08895

j ≈ 8,895 % a.m.

Olá.

Caro Rihan, como o amigo estimou o primeiro valor para x, para começar a aplicar a fórmula
x2 = x1 - f (x1) / f' (x1) ? Como você sabe, o usual é estimar esse valor com base no gráfico de f (x), mas como, neste caso, a resposta é conhecida...

Visto esse método ser extremamente trabalhoso, outra pergunta: você usa algum programa, planilha etc, para fazer toda essa contaiada ou faz tudo na mão, usando somente calculadora científica?

Agradeço antecipadamente a gentileza de seu retorno.

Um abraço.

Caro Rihan, como o amigo estimou o primeiro valor para x,
para começar a aplicar a fórmula x2 = x1 - f (x1) / f' (x1) ?
Como você sabe, o usual é estimar esse valor com base no gráfico de f (x),
mas como, neste caso, a resposta é conhecida...

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1

É um polinômio de grau 6, par, que se tiver raízes reais, vai ter uma positiva e outra negativa, mais 4 outras raízes complexas, conjugadas duas a duas.

Como temos somente um coeficiente positivo, o do termo de mais alto grau, eu, independente de qualquer estudo do polinômio, usaria o coeficiente deste termo (4,5), que é, justamente, Vo/P, por saber que a raiz certamente é menor do que ele, que entre a raíz e ele o crescimento é monótono, o que dará uma convergência rápida para o valor da raiz.




Lembre-se de que os polinômios de graus pares e ímpares têm formas parecidas, respectivamente:

Visto esse método ser extremamente trabalhoso, outra pergunta: você usa
algum programa, planilha etc, para fazer toda essa contaiada ou faz tudo
na mão, usando somente calculadora científica?

Eu desenvolvi uma fórmula e a uso com calculadora (normal, científica ou financeira), planilha eletrônica ou qualquer linguagem de programação.

Tenho também a fórmula tabelada que fornece valores de j em função de Vo/P e n com precisão de 6 casas decimais, que fiz para alguns alunos e alunas que gostam de tabelas.

Mas, a melhor forma é usar uma calculadora financeira ou planilha eletrônica. Fazer contaiada é pra máquina...

Caso queira, faço um outro post com o contéudo de como fazer em planilhas eletrônicas e na HP-12C.

rihan escreveu:

Caro Rihan, como o amigo estimou o primeiro valor para x,
para começar a aplicar a fórmula x2 = x1 - f (x1) / f' (x1) ?
Como você sabe, o usual é estimar esse valor com base no gráfico de f (x),
mas como, neste caso, a resposta é conhecida...

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1

É um polinômio de grau 6, par, que se tiver raízes reais, vai ter uma positiva e outra negativa, mais 4 outras raízes complexas, conjugadas duas a duas.

Como temos somente um coeficiente positivo, o do termo de mais alto grau, eu, independente de qualquer estudo do polinômio, usaria o coeficiente deste termo (4,5), que é, justamente, Vo/P, por saber que a raiz certamente é menor do que ele, que entre a raíz e ele o crescimento é monótono, o que dará uma convergência rápida para o valor da raiz.




Lembre-se de que os polinômios de graus pares e ímpares têm formas parecidas, respectivamente:

Visto esse método ser extremamente trabalhoso, outra pergunta: você usa
algum programa, planilha etc, para fazer toda essa contaiada ou faz tudo
na mão, usando somente calculadora científica?

Eu desenvolvi uma fórmula e a uso com calculadora (normal, científica ou financeira), planilha eletrônica ou qualquer linguagem de programação.

Tenho também a fórmula tabelada que fornece valores de j em função de Vo/P e n com precisão de 6 casas decimais, que fiz para alguns alunos e alunas que gostam de tabelas.

Mas, a melhor forma é usar uma calculadora financeira ou planilha eletrônica. Fazer contaiada é pra máquina...

Caso queira, faço um outro post com o contéudo de como fazer em planilhas eletrônicas e na HP-12C.

Olá.

Seu retorno, de tão bom, superou minha expectativa. Obrigado.

Para ser sincero, a última vez que resolvi um exercício pelo método das tangentes (Newton), foi em uma aula de cálculo numérico quando ainda fazia faculdade, já ha bastante tempo. A teoria diz que a primeira estimativa para x deve ser um valor próximo à raiz. Agora fica claro que, estudando as características do polinômio, podemos encontrar outro valor inicial para x que torne mais rápida a convergência. Para atestar isto, e também para mostrar aos que não conhecem o método o quão trabalho ele é, segue sua aplicação com x1 = 4,5 (conf. sua sugestão) e x1 = 8 (valor próximo à resposta do exercício):

Fazendo x1 = 4,5:

f (x) = 4,5x^6 - x^5 - x^4 - x^3 - x^2 - x - 1
f' (x) = 27x^5 - 5x^4 - 4x^3 - 3x^2 - 2x - 1
f (x1) = 4,5*4,5^6 - 4,5^5 - 4,5^4 - 4,5^3 - 4,5^2 - 4,5 - 1---->f (x1) = 34994,72656
f' (x) = 27*4,5^5 - 5*4,5^4 - 4*4,5^3 - 3*4,5^2 - 2*4,5 - 1---->f' (x1) = 47337,03125

x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)---->x2 = 4,5 - 34994,72656/f'47337,03125---->x2 = 3,76073


f(x2) = 4,5*3,76073^6 - 3,76073^5 - 3,76073^4 - 3,76073^3 - 3,76073^2 - 3,76073 - 1 = 11706,13271
f'(x2) = 27*3,76073^5 - 5*3,76073^4 - 4*3,76073^3 - 3*3,76073^2 - 2*3,76073 - 1 = 19046,84432

x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) = 3,76073 - 11706,13271/19046,84432---->x3 = 3,14613

f(x3) = 4,5*3,14613^6 - 3,14613^5 - 3,14613^4 - 3,14613^3 - x^3,14613 - 3,14613 - 1 = 3919,23486
f'(x3) = 27*3,14613^5 - 5*3,14613^4 - 4*3,14613^3 - 3*3,14613^2 - 2*3,14613 - 1 = 7670,95602

x4 = x3 - f(x3)/f'(x3) = 3,14613 - 3919,23486/7670,95602---->x4 = 2,63521


f(x4) = 4,5*2,63521^6 - 2,63521^5 - 2,63521^4 - 2,63521^3 - 2,63521^2 - 2,63521 - 1 = 1302,78478
f'(x4) = 27*2,63521^5 - 5*2,63521^4 - 4*2,63521^3 - 3*2,63521^2 - 2*2,63521 - 1 = 3089,73043

x5 = x4 - f(x4)/f" (x4) = 2,63521 - 1302,78478/3089,73043---->x5 = 2,21356


f(x5) = 4,5*2,21356^6 - 2,21356^5 - 2,21356^4 - 2,21356^3 - 2,21356^2 - 2,21356 - 1 = 433,25889
f'(x5) = 27*2,21356^5 - 5*2,21356^4 - 4*2,21356^3 - 3*2,21356^2 - 2*2,21356 - 1 = 1251,34180

x6 = x5 - f(x5)/f"(x5) = 2,21356 - 433,25889/1251,34180---->x6 = 1,86732

f(x6) = 4,5*1,86732^6 - 1,86732^5 - 1,86732^4 - 1,86732^3 - 1,8673^2 - 1,86732 - 1 = 143,04939
f'(x6) = 27*1,86732^5 - 5*1,86732^4 - 4*1,86732^3 - 3*1,86732^2 - 2*1,86732 - 1 = 510,96421

x7 = x6 - f(x6)/f'(x6) = 1,86732 - 143,04939/510,96421---->x7 = 1,58736

f(x7) = 4,5*1,58736^6 - 1,58736^5 - 1,58736^4 - 1,58736^3 - 1,58736^2 - 1,58736 - 1 = 46,45505
f'(x7) = 27*1,58736^5 - 5*1,58736^4 - 4*1,58736^3 - 3*1,58736^2 - 2*1,58736 - 1 = 212,63041

x8 = x7 - f(x7)/f"(x7) = 1,58736 - 46,45505/212,63041---->x8 = 1,36888

f(x8) = 4,5*1,36888^6 - 1,36888^5 - 1,36888^4 - 1,36888^3 - 1,36888^2 - 1,36888 - 1 = 14,48222
f'(x8) = 27*1,36888^5 - 5*1,36888^4 - 4*1,36888^3 - 3*1,36888^2 - 2*1,36888 - 1 = 92,59918

x9 = x8 - f(x8)/f'(x8) = 1,36888 - 14,48222/92,59918---->x9 = 1,21248

f(x9) = 4,5*1,21248^6 - 1,21248^5 - 1,21248^4 - 1,21248^3 - 1,21248^2 - 1,21248 - 1 = 4,05078
f'(x9) = 27*1,21248^5 - 5*1,21248^4 - 4*1,21248^3 - 3*1,21248^2 - 2*1,21248 - 1 = 44,98040

x10 = x9 - f(x9)/f'(x() = 1,21248 - 4,05078/44,98040---->x10 = 1,12242


f(x10) = 4,5*1,12242^6 - 1,12242^5 - 1,12242^4 - 1,12242^3 - 1,12242^2 - 1,12242 - 1 = 0,833049
f'(x10) = 27*1,12242^5 - 5*1,12242^4 - 4*1,12242^3 - 3*1,12242^2 - 2*1,12242 - 1 = 27,48317

x11 = x10 - f(x10)/f'(x10) = 1,12242 - 0,833049/27,48317---->x11 = 1,09211


f(x11) = 4,5*1,09211^6 - 1,09211^5 - 1,09211^4 - 1,09211^3 - 1,09211^2 - 1,09211 - 1 = 0,07154
f'(x11) = 27*1,09211^5 - 5*1,09211^4 - 4*1,09211^3 - 3*1,09211^2 - 2*1,09211 - 1 = 22,86119

x12 = x1 - f(x11)/f'(x11) = 1,09211 - 0,07154/22,86119---->x12 = 1,08898


f(x12) = 4,5*1,08898^6 - 1,08898^5 - 1,08898^4 - 1,08898^3 - 1,08898^2 - 1,08898 - 1 = 0,00068
f'(x12) =27*1,08898^5 - 5*1,08898^4 - 4*1,08898^3 - 3*1,08898^2 - 2*1,08898 - 1 = 22,41613

x13 = x12 - fx12)/f'(x12) = 1,08898 - 0,00068/22,41613---->x13 = 1,08895

x = 1 + i---->1,08895 = 1 + i---> i = 0,08895 = 8,8950% a.m.


Fazendo x1 = 8:

f (x) = 4,5*8^6 - 8^5 - 8^4 - 8^3 - 8^2 - 8 - 1 = 1142199
f' (x) = 27*8^5 - 5*8^4 - 4*8^3 - 3*8^2 - 2*8 - 1 = 861999
x2 = x1 - f (x1)/f'(x1) = 8 - 1142199/861999 = 6,67494

f(x2) = 4,5*6,67494^6 - 6,67494^5 - 6,67494^4 - 6,67494^3 - 6,67494^2 - 6,67494- 1 = 382427,09739
f'(x2) = 27*6,67494^5 - 5*6,67494^4 - 4*6,67494^3 - 3*6,67494^2 - 2*6,67494 - 1 = 346503,98125
x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) = 6,67494 - 382427,09739/346503,98125 = 5,57127

f(x3) = 4,5*5,57127^6- 5,57127^5 - 5,57127^4 - 5,57127^3 - 5,57127^2 - 5,57127 - 1 = 128025,29878
f'(x3) = 27*5,57127^5 - 5*5,57127^4 - 4*5,57127^3 - 3*5,57127^2 - 2*5,57127 - 1 = 139308,07851
x4 = x3 - f(x3)/f'(x3) = 5,57127 - 128025,29878/139308,07851 = 4,65226


f(x4) = 4,5*4,65226^6 - 4,65226^5 - 4,65226^4 - 4,65226^3 - 4,65226^2 - 4,65226 - 1 = 42848,57406
f'(x4) = 27*4,65226^5 - 5*4,65226^4 - 4*4,65226^3 - 3*4,65226^2 - 2*4,65226 - 1 = 56021,27831
x5 = x4 - f(x4)/f"(x4) = 4,65226 - 42848,57406/56021,27831 = 3,88740

f(x5) = 4,5*3,88740^6 - 3,88740^5 - 3,88740^4 - 3,88740^3 - 3,88740^2 - 3,88740 - 1 = 14334,99744
f'(x5) = 27*3,88740^5 - 5*3,88740^4 - 4*3,88740^3 - 3*3,88740^2 - 2*3,88740 - 1 = 22538,61343
x6 = x5 - f(x5)/f'(x5) = 3,88740 - 14334,99744/22538,61343 = 3,25138

f(x6) = 4,5*3,25138^6 - 3,25138^5 - 3,25138^4 - 3,25138^3 - 3,25138^2 - 3,25138 - 1 = 4792,10321
f'(x6) = 27*3,25138^5 - 5*3,25138^4 - 4*3,25138^3 - 3*3,25138^2 - 2*3,25138 - 1 = 9075,26987
x7 = x6 - f(x6/f'(x6) = 3,25138 - 4792,10321/9075,26987 = 2,72334

f(x7) = 4,5*2,72334^6 - 2,72334^5 - 2,72334^4 - 2,72334^3 - 2,72334^2 - 2,72334 - 1 = 1599,65037
f'(x7) = 27*2,72334^5 - 5*2,72334^4 - 4*2,72334^3 - 3*2,72334^2 - 2*2,72334 - 1 = 3660,06057
x8 = x7 - f(x7)/f'(x7) = 2,72334 - 1599,65037/3660,06057 = 2,28628

f(x8) = 4,5*2,28628^6 - 2,28628^5 - 2,28628^4 - 2,28628^3 - 2,28628^2 - 2,28628 - 1 = 532,41874
f'(x8) = 27*2,28628^5 - 5*2,28628^4 - 4*2,28628^3 - 3*2,28628^2 - 2*2,28628 - 1 = 1480,92750
x9 = x8 - f(x8)/f'(x8) = 2,28628 - 532,41874/1480,92750 = 1,92676


f(x9) = 4,5*1,92676^6 - 1,92676^5 - 1,92676^4 - 1,92676^3 - 1,92676^2 - 1,92676 - 1 = 176,11014
f'(x9) = 27*1,92676^5 - 5*1,92676^4 - 4*1,92676^3 - 3*1,92676^2 - 2*1,92676 - 1 = 603,45937
x10 = x9 - f(x9)/f'(x9) = 1,92676 - 176,11014/603,45937 = 1,63493

f(x10) = 4,5*1,63493^6 - 1,63493^5 - 1,63493^4 - 1,63493^3 - 1,63493^2 - 1,63493 - 1 = 57,43798
f'(x10) = 27*1,6349^5 - 5*1,6349^4 - 4*1,6349^3 - 3*1,6349^2 - 2*1,6349 - 1 = 249,87944
x11 = x10 - f(x10)/f"(x10) = 1,63493 - 57,43798/249,87944 = 1,40507

f(x11) = 4,5*1,40507^6 - 1,40507^5 - 1,40507^4 - 1,40507^3 - 1,40507^2 - 1,40507 - 1 = 18,09874
f(x11) = 27*1,40507^5 - 5*1,40507^4 - 4*1,40507^3 - 3*1,40507^2 - 2*1,40507 - 1 = 107,54474
x12 = x11 - f(x11)/f'(x11) = 1,40507 - 18,09874/107,54474 =

f(x12) = 4,5*1,23678^6 - 1,23678^5 - 1,23678^4 - 1,23678^3 - 1,23678^2 - 1,23678 - 1 = 5,21352
f'(x12) = 27*1,23678^5 - 5*1,23678^4 - 4*1,23678^3 - 3*1,23678^2 - 2*1,23678 - 1 = 50,80305
x13 = x12 - (x12)/f'(x12) = 1,23678 - 5,21352/50,80305 = 1,13416

f(x13) = 4,5*1,13416^6 - 1,13416^5 - 1,13416^4 - 1,13416^3 - 1,13416^2 - 1,13416 - 1 = 1,16705
f'(x13) = 27*1,13416^5 - 5*1,13416^4 - 4*1,13416^3 - 3*1,13416^2 - 2*1,13416 - 1 = 29,43227
x14 = f(x13)/f'(x13) = 1,13416 - 1,16705/29,43227 = 1,09451

f(x14) = 4,5*1,09451^6 - 1,09451^5 - 1,09451^4 - 1,09451^3 - 1,09451^2 - 1,09451 - 1 = 0,12682
f'(x14) = 27*1,09451^5 - 5*1,09451^4 - 4*1,09451^3 - 3*1,09451^2 - 2*1,09451 - 1 = 23,20642
x15 = x14 - f(x14)/f'(x14) = 1,09451 - 0,12682/23,20642 = 1,08905

f(x15) = 4,5*1,08905^6 - 1,08905^5 - 1,08905^4 - 1,08905^3 - 1,08905^2 - 1,08905 - 1=0,002247
f'(x15) = 27*1,08905^5 - 5*1,08905^4 - 4*1,08905^3 - 3*1,08905^2 - 2*1,08905 - 1 = 22,42602
x16 = x15 - f*x15/(f'(x15) = 1,08905 - 0,002247/22,42602---->x16 = 1,08895

x = 1 + i---->1,08895 = 1 + i---->i = 8,8950% a.m.

Um abraço.

Nunca vi tanto número na minha vida.

Eu creio que você não leu direito o que eu escrevi...

1) Mas, a melhor forma é usar uma calculadora financeira ou planilha eletrônica. Fazer contaiada é pra máquina...

2) x ≡ 1 + j

Quando eu disse que eu usaria o coeficiente do termo de mais alto grau, o disse para você dar a estimativa para o PROGRAMA que vai fazer as contas, seja ele da calculadora ou da planilha ou outro qualquer. Certamente ele — o programa — não fará mais de 20 iterações, o que, com a velocidade das CPUs atuais, significa um tempo bem inferior a 1 segundo...

Para estes tipos de polinômios, o único risco fatal no método de Newton é quando você dá uma estimativa inicial numa "região de sela":



Não vai convergir jamais...

Por esse motivo relembrei a você a forma desses polinômios e, mesmo sem saber isso, basta "olhar" :

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1 = 0

A raiz é menor que 4,5...

Agora, para se calcular com máquina que só tenha as operações básicas (+, -, x, ÷) eu daria um chute inicial bem mais apurado...

4,5x⁶ - x⁵ - x⁴ - x³ - x² - x - 1 = 0

Vamos chamar o coeficiente de mais alto grau (4,5) de β.

Ele nada mais é do que o valor inicial do fluxo de caixa (capital, principal, valor presente,...) dividido pelo pagamento fixo (prestação, "anuidade", amortização, rendimento...):

β ≡ Vo/P

Se β for igual a n, x = 1 e o juro é zero.

Se β for igual a 1, x ≈1,62 (x = φ !) (j = Φ !) para n = 2, x ≈ 1,84 para n = 3 e, a partir de n = 4, vai tendendo a 2.

Quando n > 13 , j ≈ 1 / β isto é: P / Vo , logo o melhor chute seria:

xo = 1 + 1/β = (β + 1)/β

xo = 5,5 / 4,5 = 1,222...

Isso vai dando informações para um melhor "chute".

Mas, o melhor chute, quando não cai nesses casos, é:

xo = 1 + 1/2n = (2n+1)/2n

Vamos ver:

n = 6

xo = 13/12 = 1,08333...

Pertinho, né ?

Mas, insisto:

O mais racional é entrar com (n; Vo; P) apertar um botão, ou falar "faça !" ou encostar o dedo numa tela sensível ao toque e quase imediatamente receber a taxa...

Desde oi idos de 1970 isto já está acessível, não há sentido em "fórmulas" de Fulano, Cicrano...

Para mim é como se fôssemos calcular funções trigonométricas ou logarítmicas através de séries...

Não faz qualquer sentido mesmo.

Saudações festivas !

[quote="rihan"]Eu creio que você não leu direito o que eu escrevi...

[quote]

[i][b][color=green]1) Mas, a melhor forma é usar uma calculadora financeira ou planilha eletrônica. Fazer contaiada é pra máquina...


Olá, rihan.

Desculpe-me, mas parece que foi você que não leu direito o que escrevi. Eu disse:

"a última vez que resolvi um exercício pelo método de Newton foi quando ainda fazia faculdade, já ha bastante tempo".

"para mostrar aos que não conhecem o método o quão trabalho ele é, segue sua aplicação ..."

Com isso, quis enfatizar que não utilizo esse método. Usei essa vez em caráter excepcional e com o objetivo claramente explicitado.

Endosso seu ponto de vista de que, nos dias atuais, não mais se justifica fazer toda essa contaiada à mão.
Também concordo com você quando diz que a resolução dos exercícios é muito mais rápida e eficiente quando feita por meios eletrônicos. Mas acho que a solução algébrica também tem seu valor, na medida que reflete com maior fidelidade os fundamentos da matemática financeira. Além do mais, o que se observa é que a maioria dos usuários dos fóruns dá preferência a esse método. E também não podemos esquecer que foi a partir da teoria formulada pelos grandes matemáticos do passado que chegamos ao atual estágio do cálculo eletrônico.

O ideal é ter perfil idêntico ao seu, que, além de dominar como poucos os fundamentos da matemática financeira, é um verdadeiro ás no cálculo eletrônico. De minha parte, como sou praticamente nulo no cálculo eletrônico e não tenho ânimo para tentar melhorar nesse quesito, vou curtindo meu hobby trilhando o "caminho das pedras" , que é o método algébrico.

Um abraço.

Mostra esse tópico para a galera das humanas. Taxa de suicídio será altíssima!!!

Olá Jota-R,

Ok !

Tudo compreendido !

Mas, repare o meu item (2) e o que você escreveu:

... e também para mostrar aos que não conhecem o método o quão trabalho ele
é, segue sua aplicação com x1 = 4,5 (conf. sua sugestão) e x1 = 8 (valor
próximo à resposta do exercício)...

Saudações !