Raio da circunferência

por Rafael113 Sáb 08 Dez 2012, 19:26

Observe a figura.

Raio da circunferência Figurag

Nessa figura, ABCD é um quadrado de lado a, e F é o ponto de tangência da diagonal BD com a semicircunferência de centro E. CALCULE o raio da semicircunferência em função de a.

por **Leonardo Sueiro** Sáb 08 Dez 2012, 19:36

Por potência de ponto, DF = DA = a
DB = a√2

∴ FB = a√2 - a

O ângulo FBE é de 45º
EF forma 90º com a reta DB

Logo: tg45 = r/(a√2 - a)

1(a√2 - a) = r

r = a(√2 - 1)

por **Leonardo Sueiro** Sáb 08 Dez 2012, 19:42

Outro modo seria perceber a semelhança entre os triângulos EFB e ABD. Mas o primeiro modo é melhor.

por Rafael113 Sáb 08 Dez 2012, 19:45

Obrigado pela resolução. Havia encontrado essa mesma resposta por um método parecido Smile

por **denisrocha** Sáb 08 Dez 2012, 19:50

outros modos também:

como o ângulo entre EB e EF é 45º (diagonal do quadrado): EF = R, BF = R, logo o triângulo EFB é isósceles; note também que AB vale R

pitágoras:
(AB - AE)² = EF² + EB²
(a - R)² = R² + R² = 2R²
a² + R² - 2aR = 2R² ---> a² - 2aR = R² ---> R² + 2aR - a² = 0

por bháskara: R = a(√2 - 1)
____________________________________

∆ABD ~ ∆EBF pelo critério AA~
BD = a√2

da semelhança:
EF/BE = AB/DB ---> R/(a - R) = a/(a√2) ---> R(√2) = (a - R) ---> R(√2 - 1) = a
R = a/(√2 + 1) ---> R = a(√2 - 1)