Determinar o comprimento do arco

por Carlos Adriano de Sousa Qui 06 Dez 2012, 17:07

Determine o comprimento do arco: da curva y = x^(2/3) do ponto (1,1) a (8,4)

por Man Utd Qui 24 Jul 2014, 20:20

$\\\\\\ \int_{a}^{b} \; \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x) \right ]^2} \; dx$

logo :

$\\\\\\ \int_{1}^{8} \; \sqrt{1+\frac{4}{9\sqrt[3]{x^2}}} \; dx \\\\\\ \int_{1}^{8} \; \sqrt{\frac{9 \sqrt[3]{x^2}+4}{9\sqrt[3]{x^2}}} \; dx \\\\\\ \frac{1}{3}*\int_{1}^{8} \; \frac{\sqrt{9 \sqrt[3]{x^2}+4}}{\sqrt[3]{x}} \; dx$

faça a substiuição : $\\\\\\ u=\sqrt[3]{x^2} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; du=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \; dx$ ,para x=1,u=1 ; para x=8 , u=4 :

$\\\\\\ \frac{1}{2}*\int_{1}^{4} \; \sqrt{9 u+4} \; du \\\\\\ \frac{1}{2}*\int_{1}^{4} \; \sqrt{9 u+4} \; du$

faça outra substituição : $\\\\\\ v= 9 u+4 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; dv=9 \; du$ , para u=1,v=13,para u=4,v=40 :

$\\\\\\ \frac{1}{18}*\int_{13}^{40} \; \sqrt{v} \; dv \\\\\\ \frac{1}{18}*\left[ \frac{2\sqrt{x^3}}{3}\right]_{13}^{40} \\\\\\ \frac{1}{18}*\left[ \frac{2\sqrt{40^3}}{3}-\frac{2\sqrt{13^3}}{3} \right] \;\;\; \approx \;\;\; 7,63371...$

por Carlos Adriano de Sousa Qui 24 Jul 2014, 21:36

Muito obrigado pela resposta, foi bem detalhada.Man Utd escreveu: $\\\\\\ \int_{a}^{b} \; \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x) \right ]^2} \; dx$

logo :

$\\\\\\ \int_{1}^{8} \; \sqrt{1+\frac{4}{9\sqrt[3]{x^2}}} \; dx \\\\\\ \int_{1}^{8} \; \sqrt{\frac{9 \sqrt[3]{x^2}+4}{9\sqrt[3]{x^2}}} \; dx \\\\\\ \frac{1}{3}*\int_{1}^{8} \; \frac{\sqrt{9 \sqrt[3]{x^2}+4}}{\sqrt[3]{x}} \; dx$

faça a substiuição : $\\\\\\ u=\sqrt[3]{x^2} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; du=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \; dx$ ,para x=1,u=1 ; para x=8 , u=4 :

$\\\\\\ \frac{1}{2}*\int_{1}^{4} \; \sqrt{9 u+4} \; du \\\\\\ \frac{1}{2}*\int_{1}^{4} \; \sqrt{9 u+4} \; du$

faça outra substituição : $\\\\\\ v= 9 u+4 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; dv=9 \; du$ , para u=1,v=13,para u=4,v=40 :

$\\\\\\ \frac{1}{18}*\int_{13}^{40} \; \sqrt{v} \; dv \\\\\\ \frac{1}{18}*\left[ \frac{2\sqrt{x^3}}{3}\right]_{13}^{40} \\\\\\ \frac{1}{18}*\left[ \frac{2\sqrt{40^3}}{3}-\frac{2\sqrt{13^3}}{3} \right] \;\;\; \approx \;\;\; 7,63371...$

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