Problema de Aritmética

Determine os números de dois algarismos tais que, multiplicando-os pela soma deles, obtemos um produto igual à soma dos cubos dos mesmos.

Resp: 37 e 48

Pensei em algo como:

(10a + b)(a+b) = a³ + b³

(10a + b)(a+b) = (a² - b²)(a-b) + ab(a+b)

(10a + b)(a+b) = (a+b)(a-b)(a-b) + ab(a+b)

(10a+b)(a+b) = a+b[(a-b)² + ab]

10a + b = (a-b)² + ab

10a + b = a² - 2ab +b² + ab

10a + b = a² + b² - ab

Tentei de outros jeitos também, mas acaba sempre assim...

Também pensei nisso:

(10a + b)(a+b) = a³ + b³

10a² + 10ab + ab + b² = a³ + b³

10a² + 11ab + b² = a³ + b³

a² + 9a² + 2ab + 9ab + b² = a³ + b³

(a + b)² + 9a² + 9ab = a³ + b³

(a + b)² + 9a(a + b) = (a + b)²(a+b) - 3ab(a+b)

(a+b)² + (a +b)² . -(a+b) = -9a(a+b) - 3ab(a+b)

(a+b)² (1 - a - b) = (a + b)( -9a - 3ab)

(a+b) ( 1 - a - b) = -9a - 3ab

a - a² - ab + b - ab - b² = -9a - 3ab

a - a² - 2ab + b - b² = -9a - 3ab

- b² - a² = - 10a - ab - b

a² + b² = 10a + b + ab

ou seja, deu no mesmo

cara infelizmente voçê vai encontrar o resultado por tentativas!

3²+7²=10*3+7+21
58=58

a² + b² = 10a + b + ab
a² - 10a = b - b² + ab
a(a - 10) = b(a + 1 - b)
Donde segue: a - 10 < 0 => a + 1 - b < 0 => b > a+1

(a-b)² = 10a + b - ab
O lado direito da equação deve ter raiz quadrada (pois |a-b| é um inteiro positivo):

(mod 4):
10a + b - ab ≡ 2a + b - ab

2a + b - ab ≡ 0 => b² ≡ a²b²
Então:
a ≡ -1, b ≡ -1
a ≡ -1, b ≡ 1
a ≡ 0, b ≡ 0

2a + b - ab ≡ 1 => ab ≡ b - 1
a ≡ 0, b ≡ 1
a ≡ 2, b ≡ 3
Que nos deixa com as seguintes possibilidades:
{2,3},{2,7}
{3,5},{3,7},{3,9}
{4,5},{4,8},{4,9}
{6,7}
{7,9}
{8,9}
Mas note que b > a+1 (só dai já eliminaria uma porrada).
Então, consideremos os limites da função (max em b = 9 e min em a = 1):
max(|a - b|) <= 4
min(|a-b|) >= 4
Então:
|a-b| = 4
Do conjunto de possibilidades, os que satisfazem são:
{3,7},{4,8}
Testando descobrimos que as soluções 37 e 48 realmente são válidas.

Note que essa questão é de teoria dos números.

Alias, é de algebra mesmo, que vergonha.
Como acima:
b-a = 4 => b = a + 4

16 = 10a + (a + 4) - a(a + 4)
a² - 7a + 12 = 0

a = 3, b = 7
V
a = 4, b = 8

Fica a solução do post acima só de enfeite, já que ela é ridicula (fui pelo caminho que normalmente seria necessário).
Liçao aprendida: analisar mais antes de partir pro bruto da coisa... --'