Contorno de um Quadrado

Um fio de comprimento c deve ser dividido em dois pedaços, e os pedaços utilizados para formar o contorno de um quadrado e o de um hexágono regular.
Se a divisão do fio deve ser tal que a soma das áreas do quadrado e do hexágono regular seja a menor possível, qual o perímetro do hexágono?

A) (2√3 − 3) c
B) c/2
C) √2 c/3
D) √3 c/6
E) 2c/5

duas partes ----> x (perímetro do hexágono) e c-x (perímetro do quadrado)

Lado do hexágono = x/6 ---> Área do hexágono = 6*(x/6)²*V3/4) = (V3/24)*x²

Lado do quadrado = (c - x)/4 ----> Área do quadrado = (c² - 2cx + x²)/16

S = (V3/24)*x² + (c² -2cx + x²)/16 ---> S = (V3/24)*x² + x²/16 - cx/8 + c²/16

S = (V3/24 + 1/16)*x² - [c/8]*x + c²/16 ---> Função do 2º grau ---->

Parábola com concavidade voltada para cima ---> Ponto de mínimo no vértice

xV = - b/2a ----> xV = - [-c/8]/(V3/24 + 1/16) ----> xV = c/(V3/3 + 1/2)

xV = c/[(2*V3 + 3)/6] ----> xV = 6*c/(2*V3 + 3) ----> xV = 6*c*(2*V3 - 3)/3

xV = 2*c*(2*V3 - 3) ---> Minha resposta é o dobro da alternativa A


favor conferir minhas contas.