TEMPO DE APLICAÇÃO

Como resolver matematicamente?

Um capital A de R$1000,00 é aplicado a juros simples à taxa de 10% aa. Um outro capital B de R$ 900,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 12% aa. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido por B será superior ao produzido por A?

Resposta: N=4.

Muito obrigado desde já!

Tentei de diversas formas mas não cheguei a solução alguma. Tentei por log, mas no meio do caminho tinha um "+", tinha um "+" no meio do caminho.

Cheguei nisso:

Mb > Ma

- Para Mb = Ma

900.(1,12)^n = 1000 + 100.n
<=> 9.(1,12)^n = n + 10
<=> 9.(1,12)^n -10 = n (I)

No fundo essa é a fórmula do termo de uma PG igualada a de um termo de uma PA, não pensei em nada relacionado a isso que pudesse ajudar também.

ivomilton, acredito não ter como resolver algebricamente
Tentei aqui, sem sucesso

Observação: O Drummond me persegue até em fórum de matemática. Não é possível. Todo dia eu ouço ou leio algo sobre ele.

leosueiro123 escreveu: ivomilton, acredito não ter como resolver algebricamente
Tentei aqui, sem sucesso

Observação: O Drummond me persegue até em fórum de matemática. Não é possível. Todo dia eu ouço ou leio algo sobre ele.

Hahaha, e eu que li Sentimento do Mundo duas vezes e o resumo. Por isso estou assim, me sentindo uma "gauche" no fórum de matemática e citando poemas . Fora que eu ainda tenho que ler Modernismo Segunda Fase, e advinha...

Enfim, não saiu nada algebricamente. Caso não apareça nada, levo pro meu professor de matemática na quarta feira e vejo se sai alguma coisa. O bom é que nesse exercício N é um número pequeno. Mas se não fosse, ficaria ruim resolver e achar uma resposta. Será que não da mesmo?

Sempre que eu vejo alguém recitando esse poema, eu me imagino dando um tapa no Drummond e gritando: ENTÃO PULA, Ô IMBECIL!

leosueiro123 escreveu:

Sempre que eu vejo alguém recitando esse poema, eu imagino eu dando um tapa no Drummond e gritando: ENTÃO PULA, Ô IMBECIL!

HAhahaha tão mais fácil. Ai se você fala isso pra alguém que faz letras é a morte. Por que é claro que o que o poeta quis dizer foi bla bla bla bla bla bla... zzz..z..z.zz...

SE ELE QUIS DIZER, POR QUE NÃO DISSE DE UMA VEZ

O pior é que esse é o curso da minha namorada

E adivinha o poeta prefirido dela?

a) Drumond
b) Drumond
c) Drumond
d) Drumond
e) todas as alternativas anteriores

leosueiro123 escreveu:O pior é que esse é o curso da minha namorada

E adivinha o poeta prefirido dela?

a) Drumond
b) Drumond
c) Drumond
d) Drumond
e) todas as alternativas anteriores

Vish, de falar mal vai dar briga feia hein. Melhor você viajar sobre a pedra no caminho mesmo e deixar pra lá . Eu não odeio taaaaaanto assim poemas (só um pouco), mas esses poemas muito viagem vão além da minha paciência. Melhor ficar só nos números mesmo.

ivomilton escreveu:Como resolver matematicamente?

Um capital A de R$1000,00 é aplicado a juros simples à taxa de 10% aa. Um outro capital B de R$ 900,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 12% aa. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido por B será superior ao produzido por A?

Resposta: N=4.

Muito obrigado desde já!

Boa noite para todos os prezados amigos do Fórum!
Vou postar uma solução que terminará por tentativas...

900*1,12^n > 1000 + 100*n → Simplificando tudo por 100:
9*1,12^n > 10 + n
1,12^n > (10 + n)/9 → Passando para logaritmos:

n*log(1,12) > log(10+n) - log(9)

1,12 = 112/100 = 2⁴*7/100
log(1,12) = log(2⁴*7/100) = 4*log(2) + log(7) - log(100) = 4*log(2) + log(7) - 2

n > [log(10+n) - 2*log(3)]/log(1,12)
n > [log(10+n) - 2*0,47712]/(4*0,30103 + 0,845098 - 2)
n > [log(10+n) - 0,95424]/0,049218
n > log(10+n)/0,049218 - 19,38803

n+19,38803 > log(10+n)/0,049218

Agora vem a parte das tentativas.
Como nos primeiros 2 anos será impossível a aplicação a juros compostos alcançar a aplicação a juros simples, começaremos experimentar com 5 anos de prazo. Se for demais, retroagiremos; se de menos, avançaremos.
Para n=5, log(15) = 1,176091
Para n=4, log(14) = 1,146128

Para n=5: 5+19,38803 > 1,176091/0,049218 → 24,38803 > 23,89555? Sim, mas pode não ser o primeiro a ultrapassar o montante da aplicação a juros simples...

Para n=4: 4+19,38803 > 1,146128/0,049218 → 23,38803 > 23,28677 ? Sim, agora já não dá mais para retroagir, pois a diferença é bem pequena!

Conclusão: Levará 4 anos para que o montante da aplicação a juros compostos sobrepuje a aplicação a juros simples.





Abraços para todos, com votos de uma nova semana cheia da graça de Deus!

ivomilton, usando calculadora para calcular o valor dos logarítmos, uma solução mais algébrica seria usar o método de Newton-Raphson.
Vamos achar a raíz da equação.
900*1,12^n = 1000 + 100*n
9*1,12^n=10+n
10+n-9*1,12^n=f(n)=0 [n≥0]

O método nos diz:
x_k+1=x_k-f(x_k)/f'(x_k)
f'(n)=1-9*ln(1,12)*1,12^n=1-1,0197*1,12^n

Tomando n=0 como ponto inicial, temos:
x_0=0
x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0)
f(0)=10-9=1
f'(0)=1-9ln(1,12)≈1-9*0,1133=-0,0197
x_1=0-1/-0,0197=50,7614
fazendo um pouco mais direto;
x_2=50,7614-f(50,7614)/f'(50,7614)
x_2=50,7614-(-2775,4255)/-320,2538=42,0950

x_3=42,0950-(-1009,7843)/-119,3110=33,6315
x_4=33,6315-f(33,6315)/f'(33,6315)=33,6315-(-363,2973/-45,1050)=25,5770

x_4=18,2790
x_5=12,1952
x_6=7,7357
x_7=5,0531
x_8=3,9351
x_9=3,7280
x_10=3,7211
vou parar por aqui que dará para ver que 3,72.. é raiz.
Poderia ter escolhido outro número desde o início (como ponto inicial) pois já tínhamos uma noção e deu um valor muito longe.
Logo, n=4 para ser maior (pois n E N).

Enfim, fica uma alternativa.
Espero que ajude.