Simplifique

por puiff Dom 11 Nov 2012, 16:23

Supondo definida em R, simplifique a expressão a seguir:

$\frac{cos(\frac{\pi }{2}-x)+sen(\frac{\pi }{2}+x)}{sen(\frac{\pi }{2}-x)-sen(\frac{3\pi }{2}-x)}.\frac{2cos(2\pi -x)}{sen(\pi +x)+sen(\frac{3\pi }{2}+x)}$

gabarito: -1
Estou tendo dificuldades em entender como simplificar a expressão com as fórmulas de redução ao 1° quadrante, alguém poderia me ajudar? Desde já, obrigada!

por **Leonardo Sueiro** Dom 11 Nov 2012, 16:51

Se eu pudesse dar-lhe um conselho, pediria para não guardar a maioria dessas fórmulas de redução. Tente visualizar por simetria, fica muito mais fácil do que guardar 300 fórmulas(Eu gosto de hiperbolizar as coisas. Very Happy

)

O cosseno de um ângulo é igual ao seno de seu complementar:
$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sen x$

$seno(\frac{\pi }{2} + x) = seno[(\frac{\pi }{2} - (- x)] = cos(-x) = cosx$

$seno(\frac{\pi }{2} - x) = cosx$

$seno(\frac{3\pi }{2} - x) = - seno(\frac{\pi }{2} + x) = - seno[(\frac{\pi }{2} - (-x)] = - cos(-x) = -cosx$

$cos(2\pi - x) = cos(- x) = cosx$

$sen(\frac{3\pi}{2} + x) = - sen (\frac{\pi}{2} - x ) = - cos x$

$sen(\pi + x) = - sen(\pi - x) = - senx$

$[ \right ]\frac{senx + cosx}{cosx -(-cosx)}].[\frac{2cosx}{-senx -cosx}] \rightarrow \frac{2cosx}{(-1)(2cosx)} = -1$

por **Leonardo Sueiro** Dom 11 Nov 2012, 17:00

Explicando a tal da "simetria" a que me referi:

sen(θ + ∏)

Pense no círculo trigonométrico. Concorda comigo que se você for até 180º e percorrer θº, você percorrerá a mesma "distância" que se você voltasse, a partir de 180º, "θº unidades de distância"? Mas continue mentalizando o círculo trigonométrico(não precisa desenhar). Concorda, ainda, que acima do círculo temos senos positivos e abaixo, negativos? Por isso devemos inverter o sinal e obter:

sen(θ + ∏) = - sen(∏ - θ)

Espero que tenha sido útil. :albino:

por puiff Dom 11 Nov 2012, 17:23

Obrigada pela ajuda leosureiro123, sua explicação sobre simetria foi de grande ajuda sim, muito obrigada.
Acompanhando a sua resolução do exercício eu não consegui compreender o por quê sen(3∏/2 + x)=-sen(∏/2 - x), no caso o 3∏/2 virou ∏/2 porque é a mesma distancia?

por **Leonardo Sueiro** Dom 11 Nov 2012, 17:31

Imagine o círculo trigonométrico. 3∏/2 é igual a 270º e está embaixo do ∏/2. Percorremos x em direção a 2∏, então vamos voltar x em direção a 0º. Ou, se prefirir, poderia avançar x em direção a ∏:

Também poderia escrever:
sen(3∏/2 + x)= -sen(∏/2 + x)

Pois sen(∏/2 + x) = sen(∏/2 - x)

Se não entendeu a explicação acima, diga. :rendeer:

Se você começar a resolver exercícios utilizando essa ideia de simetria, com o tempo, perceberá que facilita demais. A maioria dos professores não gosta de ensinar isso, por isso muita gente guarda fórmula. Uma vez, quando estava no EM, eu expliquei à minha namorada como eu resolvia essas questões por simetria, pois ela tinha dúvidas. Meu professor ficou bravo affraid

Lembro como se fosse hoje: "Você está equivocado, senhor Leonardo. Essa não é uma maneira correta de se aprender. Que história é essa de andou x voltou x...? Faça-me o favor ..." Razz