funções

Se g(f(x))=x²+13x+42 e g(x)=x²-x, determine o termo independente de "x" na expressão de f(x), sabendo que f(x) é um polinômio com coeficientes positivos.

f(x) é claramente um polinômio de primeiro grau (pois o maior expoente da variavel x em f(x) ao quadrado não deve superar 2, já que esse é o grau de (g o f)(x) e g e f são funções polinomiais).
Segue:
f(x) = ax + b
(g o f)(x) = (ax + b)*(ax + b - 1) = x² + 13x + 42
O termo independente é: b(b - 1) (poderia ser abstraido sem a necessidade de saber o grau de f(x))
Por identidade:
b² - b = 42 => b = -6 V b = 7

S = {7}

*Editado com as contas corrigidas.

g(f(x)) = x² + 13x + 42

g(x) = x² - x
g(f(x)) = f(x)² - f(x)
x² + 13x + 42 = f(x)² - f(x)

Adotamos aqui f(x) como equação do 1º grau, para dar sentido a função composta anterior.

x² + 13x + 42 = (ax + b)² - (ax + b)
x² + 13x + 42 = (ax)² + 2axb + b² - ax - b
x² + 13x + 42 = (a)²x² + 2abx - ax + b² - b
x² + 13x = 42 = (a)²x² + (2ab - a)x + (b² - b)

b² - b = 42
b² - b - 42 = 0

Delta = (- 1)² - 4.1.(- 42)
Delta = 1 + 168
Delta = 169

b = (1 +/- 13)/2

b' = - 6
b'' = 7

Como os coeficientes só podem ser positivos, b = 7.

Questão linda !!!

Vamos lá,

se g(f(x))=x²+13x+42 e g(x)=x²-x, então g(f(x))=[f(x)]²-f(x)=x²+13x+42.

Chamarei f(x) de y, ou seja, f(x)=y. Então:

y²-y=x²+13x+42 => y(y-1)=x²+13x+42.

Pelo teorema de Briot-Ruffini (dividir o polinômio por outro polinômio de 1º grau), podemos dividir o polinômio x²+13x+42 por x+6. Para descobrir esse divisor basta achar as raízes da função do 2º grau x²+13x+42=0. Você encontrará como raízes x'=6 e x''=7.

Logo, x²+13x+42=(x+6)(x+7). Então:

y(y-1)=(x+6)(x+7)

Logo, y=x+6 ou y=x+7 ou y=x+8. Ao substituirmos em g(x), o único valor de y para que g(x) seja igual a x²+13x+42 é o de y=x+7.

Portanto, o termo independente de "x" na expressão de f(x) é 7 (sete).

Espero ter ajudado. Abraços.

Errou nas contas, Dark.
Veja:
x² + 13x + 42 = (ax + b)² - (ax + b) = x² + 13x + 42 = (ax)² + 2axb + b² - ax - b

Abraço... : )

aprentice escreveu:Errou nas contas, Dark.
Veja:
x² + 13x + 42 = (ax + b)² - (ax + b) = x² + 13x + 42 = (ax)² + 2axb + b² - ax - b

Abraço... : )

Pior que eu nem tinha reparado. Obrigado pela correção.

Abraços.

Solução trabalhosa mas elegante, planck.

Obrigado, aprentice. E olha que eu nem sou estudante da área tecnológica eim... Sou de biomédicas...Medicina... hehehehe

Realmente uma linda questão !!
Obrigado pela ajuda galera ...

acho que a parte mais importante a sacar que a função F(X) é do primeiro grau, não é todo mundo que vai sacar isso