Exercício de trigonometria!!!

por mirellats Sex 26 Out 2012 - 13:16

Pessoal, por favor me ajudem com essa questão do livro Fundamentos da Matemática Elementar - volume 3

Provar que se (sen 2A, sen 2B , sen 2C) é uma PA ; então o mesmo ocorre com [ tg (A+B) , tg (C+A), t (B+C) ].

OBS: Eu tenho a resolução aqui, mas não estou conseguindo entender.

Segunda ela, por hipótese temos: sen 2B - sen 2A = sen 2C - sen 2B

2 sen (B-A). cos (A+B) = 2 sen (C-B) . cos (C+B)

até aqui entendi; mas agora vem o problema: não entendi o resto. Será que vcs poderiam continuar o exercício mostrando quais foram as propriedades aplicadas??

Agradeço.

por **Robson Jr.** Sex 26 Out 2012 - 14:27

Partirei de onde você parou:

$\small sen(B-A)cos(B+A)=sen(C-B)cos(C+B) \\\\ \Leftrightarrow \ \frac{sen(B-A)}{cos(C+B)}=\frac{sen(C-B)}{cos(B+A)}$

Multiplique ambos os membros por 1/cos(A+C):

$\small \frac{sen(B-A)}{cos(C+B)cos(A+C)}=\frac{sen(C-B)}{cos(A+C)cos(B+A)} \\\\ \Leftrightarrow \ \frac{sen[(B+C)-(A+C)]}{cos(C+B)cos(A+C)}=\frac{sen[(A+C)-(A+B)]}{cos(A+C)cos(B+A)}$

Usando o seno da diferença para abrir os numeradores e simplificando: (não coube aqui, mas é bem rápido)

$\small \frac{sen(B+C)}{cos(B+C)}-\frac{sen(A+C)}{cos(A+C)}=\frac{sen(A+C)}{cos(A+C)}-\frac{sen(A+B)}{cos(A+B)} \\\\ \Leftrightarrow \ tg(B+C)-tg(A+C)=tg(A+C)-tg(A+B) \\\\ \Leftrightarrow \ PA:\left \{ tg(B+C), \ tg(A+C), \ tg(A+B) \right \}$