Cefet-PR - 2004: Altura de Esferas

Uma ajudinha?
Um artista construiu um monumento utilizando 4 esferas de raio igual a 1 metro cada. Foram colocadas, como base do monumento, 3 dessas esferas tangentes entre si em um plano horizontal, e a quarta esfera em cima e tangente às 3 anteriores. A altura desse monumento, em metros, é de:
A) (√3/2 + 2 )
B) (√3 + 2)
C) (2√6/3 + 2)
D) (√6/3 + 1)
E) (√6/3 + 2)
Resposta:

Spoiler:

Pitu
Notei que a sua localização é "as fs". Onde fica isso?

Medeiros escreveu:Pitu
Notei que a sua localização é "as fs". Onde fica isso?

Ops... corrigi o erro...

Pitu, você não imagina minha alegria em responder a alguém tão longe; aliás, que me lembre, é a primeira vez que interajo com um participante do Amapá. Mas vamos lá.

Visualize o centro dessas esferas. E agora vamos unir esses centros. As três esferas que estão no chão plano, seus centros formam um triângulo equilátero de lado 2r, passando pelo ponto de tangência. Também o centro da esfera de cima (em azul), ligado ao centro de cada uma das de baixo, passa pelos respectivos pontos de tangência formando triângulos equiláteros de lado 2r. Temos portanto um tetraedro regular -- aquele que é formado por 4 triângulos equiláteros.

É-me difícil fazer um desenho 3D em perspectiva; fiz um desenho com uma vista de topo e outro com vista lateral.



O problema acaba ficando simples. Quer-se a altura H.
H = 2r + h
onde h é a altura do tetraedro.
Na verdade, a questão é um exercício sobre tetraedro regular.


Tetraedo regular

a = aresta
g = apótema lateral = altura do triângulo equilátero -----> g = a√3/2
Na face de baixo estão desenhadas duas alturas -- que, no caso do triângulo equilátero, confundem-se com as medianas (e também com as bissetrizes) -- cujo ponto de encontro é o baricentro. Portanto
m = (1/3)g -----> m = a√3/6
Então
h² = g² - m² -----> h² = a².3/4 - a².3/36 -----> h² = a².24/36 -----> h² = a².2/3 -----> h = a√6/3


Voltando ao monumento e lembrando que nele a aresta a=2r, temos: h = r.2√6/3
Portanto a altura do monumento será
H = 2r + h -----> H = 2r + 2r√6/3
como r=1m
H = (2√6/3 + 2) metros

Olá Medeiros,

Ótima solução e desenhos esclarecedores.

Muito bom mesmo!

Jose Carlos escreveu:Olá Medeiros,

Ótima solução e desenhos esclarecedores.

Obrigado pelo incentivo, amigo José Carlos.
Pitu, fico feliz se você entendeu.