permutacão

Esmeralda tem cinco livros sobre heráldica em uma estante. No final de semana, ela limpou a estante e, ao recolocar os livros, colocou dois deles no lugar onde estavam antes e os demais em lugares diferentes de onde estavam. De quantas maneiras ela pode ter feito isso?
a)20
b)25
c)30
d)34
e)45
R= e)45

Hola.

Essa é uma questão da XXX| Olimpíada Brasileira de Matemática.

Se Esmeralda colocou 2 dos 5 livros nos lugares corretos, então ela pode ter feito isso de C5,2 = 10 maneiras diferentes.

Agora muita atenção:

vamos considerar que os 3 lvros restantes sejam a, b, c e que essa seja a sequência correta inicialmente quando eles estavam na prateleira, Certo?

a b c disposição correta, veremos em quantas posições eles estão fora dessa ordem:

b c a ==> 1 maneira

c a b ==> 1 maneira. Portanto temos 2 maneiras de colocar os 3 livros fora da ordem correta em eles estavam antes da limpeza da estante. Logo:

C5,2 * 2 = 10*2 = 20, letra a.

Vc poderia ter usado permutações caóticas, ou desarranjos.

O termo permutação caótica serve para designar uma permutação sem ponto fixo.

Permutação caótica, é assim chamada qdo nenhum elemento esta no seu lugar primitivo. Por exemplo: seja o número 2351 . O números de permutações caóticas existentes é: 3215 , 3512, 3125, 1532, 1523, 1235,5213,5123, 5132 . Ou seja 9 permutações, perceba que nenhum número esta no seu lugar primitivo.. entao é isso que é uma permutação caótica. E pode ser calculado pela fórmula:

Dn = n! [ 1!/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n / n ! ]
No caso seria D4 = 4![ 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!] = 9

Esse assunto está qui mesmo: https://pir2.forumeiros.com/t20776-permutacoes-caoticas

No caso seria D3 = 3![ 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3!)

D3 = 6[ 1 - 1 + 1/2 - 1/6)

D3 = 6*[(6 - 6 + 3 - 1)/6]

D3 = 6*[2/6]

D3 = 2