Demonstração

Como demonstro que um número que possui soma de seus algarismos divisível por 3 é divisível por 3?

Essa é bem básica.
N = a[n]*10^n + a[n-1]*10^(n-1) + ... + a[0]

a[n] + a[n-1] + ... + a[0] ≡ 0 (mod 3)
(10^n)*a[n] + (10^(n-1))*a[n-1] + ... + a[0] ≡ (1^n)*a[n] + (1^(n-1))*a[n-1] + ... + a[0] ≡ a[n] + a[n-1] + ... + a[0] ≡ 0 (mod 3) c.q.d

Flaviodefalcao escreveu:Como demonstro que um número que possui soma de seus algarismos divisível por 3 é divisível por 3?

Boa noite, Flavio.

Tome o número 111 e separe-o em suas casa decimais: Unidade, Dezena e Centena.
U = 1
D = 10
C = 100

A seguir, divida o valor de casa uma dessas casas, divida-o por 3, e anote o resto:
1/3 = quociente 0, resto 1
10/3 = quociente 3, resto 1
100/3 = quociente 33, resto 1

Isso ocorre porque estamos trabalhando no Sistema Decimal, em que:
10=3*Q + R = 3*3 + 1

Assim, ao passarmos de U, para D, para C, ocorre o seguinte:
1 * 3*3+1 * 3*3+1 = 3*3*3*3 + 3*3+3*3 + 1 = 3*Q' + 1

Como o quociente Q, de 10/3, é igual a 3, cada casa decimal será sempre igual a:
3Q' + 1.

Assim, conforme mudarmos os algarismos das casas U,D,C,M, etc, esse resto 1, que sobre em cada casa decimal, ficará multiplicado pelos novos algarismos do número:

Exemplo: Seja o número 425.
425 = 4*100 + 2*10 + 5*1 = 4*(33*3+1) + 2*(3*3+1) + 5*(0*3+1) =
= 4*1 + 2*1 + 5*1 = 4+2+5 = 11 (porque as demais parcelas são todas múltiplas de 3, e assim já ficam de início eliminadas).

11 = 1*(3*3+1) + 1*(0*3+1) = 1*1 + 1*1 =1+1 = 2

Espero que lhe seja claro o suficiente...







Um abraço.