Onde foi que eu errei??

Oi, gente! Parece que hoje eu tirei o dia pra atazanar vocês, ne?
Desculpem-me, eu juro que estou tentando tirar minhas dúvidas por aí pelo Google afora, para não incomodar aqui, mas não consegui achar estas questões, de jeito nenhum. D=
Desculpem mesmo. Se estiver irritando muito, é só falar, que eu paro. >.<"

Enfim... Essa UDESC (seja lá o que for) é do mal mesmo! Eu consegui resolver exercícios da USP, mas não consegui nenhum dos dela! o.o

Esse aqui, eu estava crente que conseguiria, maaaas.. Vejam o que aconteceu:

(UDESC 2009) Uma circunferência intercepta um triângulo equilátero nos pontos médios
de dois de seus lados, conforme mostra a figura, sendo que um dos
vértices do triângulo é o centro da circunferência.


Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é:

a)9(2√3 - ∏/6)cm²
b)9 (√3 - ∏/18)cm²
c)9(√3 - ∏)cm²
d)9(√3 - ∏/3)cm²
e)9(√3 - ∏/6)cm²

O gabarito diz que a resposta é letra "E"!

Agora, vamos ao que eu tentei fazer...

Bom, como a circunferência corta o triângulo no ponto médio de seu lado, e o lado vale 6cm, então o raio da circunferência é 3cm. E como o triângulo é equilátero, cada um de seus ângulos vale 60º.

Pela figura, a Área que eu chamei de "Ax", seria a área do triângulo equilátero (At) menos a área do setor circular (As), certo? E aí eu fiz os cálculos:

At = l²√3/4
At = 6²√3/4
At = 9√3 cm²

As= α∏R²/360
As = 60.∏.3²/360
As= 540∏/360
As= 3∏/2

E aí vem o cálculo final...

Ax = At - As
Ax = 9√3 - 3∏/2
Ax = 18√3 - 3∏/2

E aí eu boiei. Porque não tem como isso dar a alternativa "e"! Tipo, de colocar o 3 em evidência na parte de cima, ia ficar 6(√3 - ∏/2). Não tem como colocar "9" em evidência, também. Então... Não tem o que fazer!

Eu tentei fazer de outros jeitos, tipo, em vez de 9√3, deixar 36√3/4 e em vez de 3∏/2, deixar 6∏/4, e coisas assim, mas nada deu certo.

E então? Alguma alma boa para me dizer o que eu fiz de errado? Por obséquio?
Não tem nada mais três que chegar no final do exercício, crente de que fez tudo certo, só para descobrir que não tem nenhuma alternativa condizente.

O fórum é pra isso mesmo! =)
A área do setor circular é 1/6 da área total do círculo (angulo é 60)
= piR^2/6 = 9pi/6

9V3 - 9pi/6 = 9(V3 - pi/6)

a questão não é complicada, você errou bobagem

Você não errou em nada.

Só não deixou o 9 em evidência.

As= 3∏/2

At = 9√3 cm²

9√3 - 3∏/2 -- (se eu mulplicar por (3/3) não altera a proporção)

9√3 - 9∏/6

9(√3 - ∏/6)

Obrigada, Huan! Eu nunca ia pensar em multiplicar por 3/3, por mais que pareça simples e óbvio. Tenho probleminhas com esse negócio de simplificação/fatoração e coisas do tipo, porque tive uma professora muito ruim no Ensino Fundamental. Essas coisas são complicadas.

Obrigada mesmo! Fico feliz por, pelo menos, não estar assim tão errada. Só enrolada, como sempre. Rsrsrs

Valeu mesmo!

E a você também, Ramonss, apesar de eu não ter entendido muito bem o que você fez. >.<

É, você não errou

Você decorou essa fórmula pra área de setor? Eu fiz com lógica, assim:

A área do círculo é ∏R²
Como o ângulo é de 60º, o setor divide o círculo em 6.

Portanto a área do setor é
∏R²/6
= ∏3²/6
= 9∏/6

Sim, decorei. Está no meu material de estudo.
Ah, sim, agora faz sentido. Obrigada por explicar!

eu não entendi da onde saiu a raiz de 3, alguem poderia por favor me ajudar?

Saiu da área do triângulo!!!! A=l²√3/4