Determinante de ordem n.

por **Robson Jr.** Qui 23 Ago 2012, 18:50

Calcule o determinante:

$\begin{vmatrix} 0 & x & x & ... &x \\ y & 0 & x & ... &x \\ y & y & 0 & ... &x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y & y & y & ... & 0 \end{vmatrix}_{\text{n x n}}$

Spoiler:

por **Leonardo Sueiro** Sáb 17 Nov 2012, 21:29

Amigo Robson, você me deve uma cabeça nova.

Eu encontrei dificuldades em usar o latex para determinantes. Favor ter boa vontade.

Aplicando Jacobi, vamos multiplicar a última coluna por -1 e somar em todas as outras colunas, exceto na primeira. Dessa forma zeraremos todos os valores acima da diagonal principal, exceto os valores da última coluna. Além disso, a diagonal principal será formada por zero na primeira linha, seguido de -x até a penúltima linha. Na penúltima linha, quem ocupa a diagonal principal continua sendo o zero.

$\begin{vmatrix} \textup{0}\,\, \, \, \,\,\, \textup{0}\,\, \,\, \, \, \textup{0}\,\, \, \, \, \cdots\,\, \, \, \, \textup{x} \\ \textup{y} \,\,\, \, \, \, \textup{-x} \,\, \, \, \, \textup{0}\,\, \, \, \, \cdots\,\, \, \, \, \textup{x} \\ \textup{y}\, \, \, \, \textup{y-x} \, \, \, \, \textup{-x} \,\, \, \, \, \cdots\,\, \, \, \, \textup{x} \\ \textup{y}\, \, \, \textup{y-x}\,\, \, \, \textup{y-x} \, \, \, \, \cdots \, \, \, \, \textup{x} \\ \,\textup{\vdots } \,\, \, \, \,\,\,\, \textup{\vdots }\,\, \, \, \, \,\,\,\textup{\vdots }\,\, \, \, \, \ddots\,\, \, \, \, \textup{\vdots } \\ \textup{y} \, \,\, \, \, \textup{y} \, \,\, \, \, \, \, \textup{y} \, \,\, \, \, \,\cdots \, \,\, \textup{0} \\ \end{vmatrix}$

Agora vamos multiplicar a primeira coluna por $\frac{-x}{y}$ e somar na última coluna:

$\begin{vmatrix} \textup{0}\,\, \, \, \,\,\, \textup{0}\,\, \,\, \, \, \textup{0}\,\, \, \, \, \cdots\,\, \, \, \, \textup{x} \\ \textup{y} \,\,\, \, \, \, \textup{-x} \,\, \, \, \, \textup{0}\,\, \, \, \, \cdots\,\, \, \, \, \textup{0} \\ \textup{y}\, \, \, \, \textup{y-x} \, \, \, \, \textup{-x} \,\, \, \, \, \cdots\,\, \, \, \, \textup{0} \\ \textup{y}\, \, \, \textup{y-x}\,\, \, \, \textup{y-x} \, \, \, \, \cdots \, \, \, \, \textup{0} \\ \,\textup{\vdots } \,\, \, \, \,\,\,\, \textup{\vdots }\,\, \, \, \, \,\,\,\textup{\vdots }\,\, \, \, \, \ddots\,\, \, \, \, \textup{\vdots } \\ \textup{y} \, \,\, \, \, \textup{y} \, \,\, \, \, \, \, \textup{y} \, \,\, \, \, \,\cdots \, \,\, \textup{-x} \\ \end{vmatrix}$

Perceba que podemos aplicar Laplace na primeira linha:
$det = x(-1)^{n+1}.[\textup{menor complementar}]$

Vamos calcular separadamente o menor complementar. Agora é que a coisa complica.
$\begin{vmatrix} \textup{y}\,\, \, \, \,\,\, \textup{-x}\,\, \,\, \, \, \textup{0}\,\, \, \, \, \cdots\,\, \, \, \, \textup{0} \\ \textup{y} \,\,\, \, \, \, \textup{y-x} \,\, \, \, \, \textup{-x}\,\, \, \, \, \cdots\,\, \, \, \, \textup{0} \\ \textup{y}\, \, \, \, \textup{y-x} \, \, \, \, \textup{y-x} \,\, \, \, \, \cdots\,\, \, \, \, \textup{0} \\ \textup{y} \,\,\,\, \, \textup{y-x}\,\, \, \, \textup{y-x} \, \, \, \, \cdots \, \, \, \, \textup{0} \\ \,\textup{\vdots } \,\, \, \, \,\,\,\, \textup{\vdots }\,\, \, \, \, \,\,\,\textup{\vdots }\,\, \, \, \, \ddots\,\, \, \, \, \textup{\vdots } \\ \textup{y} \, \, \, \textup{y-x} \,\, \, \, \, \textup{y-x} \, \,\, \, \, \,\cdots \, \,\, \textup{-x} \\ \textup{y}\,\,\, \, \,\, \, \, \textup{y} \, \,\, \, \, \, \, \textup{y} \, \,\, \, \, \,\cdots \, \,\, \textup{y} \ \end{vmatrix}$

Vamos zerar todos os elementos acima da diagonal principal. Para isso, multiplicamos a primeira linha por $\frac{x}{y}$ e somamos na segunda. Em seguida, multiplicamos a segunda por $\frac{x}{y}$ e somamos na terceira. E assim sucessivamente até a última coluna.

Feito os procedimentos acima, teremos zerado todos os elementos acima da diagonal principal! (lembre-se da propriedade das matrizes triangulares)
A diagonal principal será formada por y da primeira linha até a penúltima. Na última linha teremos um elemento diferente na diagonal principal. E é aqui que a coisa complica:

Depois de ter feito aquele procedimento acima que descrevi, teremos na última linha o seguinte esquema:
Veja na imagem que a última linha do menor complementar é formada toda por y, exceto o último elemento, que é -x.

Pelo procedimento que fizemos anteriormente, obteríamos:
$y.\frac{x}{y} + y = x + y$

Em seguida, faríamos o mesmo com x + y para a terceira coluna:
$(x + y).\frac{x}{y} + y$

Vamos chamar x + y de k:

Temos:
1) ky + y
2) (ky + y)k + y → k²y + ky + y
3) (k²y + ky + y)k + y → k³y + k²y + ky + y
.
.
.

Perceba que temos a soma de uma PG de razão K. Vamos então multiplicar os elementos da diagonal principal.
Para isso, precisamos saber quantos y há nessa diagonal(não esqueçamos de multiplicar isso pela soma da PG)

Para formar o menor complementar, tiramos uma linha e uma coluna. Logo ele é (n - 1) por (n - 1).
Temos então "(n - 1) - 1 = n - 2" ipslons.

$\textup{determinante do menor complementar} = y^{n - 2}y(\frac{k^{n-1} - 1}{k -1})$

Eu apenas multipliquei o ipsolon pela soma dos termos da PG.
Lembrando que K = x/y e jogando o menor complementar lá na primeira equação para acharmos o determinante pedido:

$det = x(-1)^{1 + n}y^{n - 2}y(\frac{(\frac{x}{y})^{n-1} - 1}{\frac{x}{y} -1}) = x(-1)^{1 + n}y^{n - 1}(\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} - 1)(\frac{y}{x-y})$

$det = x(-1)^{1 + n}{\color{Red} y^{n - 1}}(\frac{x^{n-1} - y^{n-1}}{{\color{Red} y^{n-1}}})(\frac{y}{x-y})$

$det = x(-1)^{1 + n}(x^{n-1} - y^{n-1})(\frac{y}{x-y}) =\frac{ yx(-1)^{1 + n}(x^{n-1} - y^{n-1})}{x-y}$

Veja que, apesar de o meu fator (-1) estar elevado a um outro valor, ele vai funcionar como o resultado(valores ímpares de n fornecerão 1 e valores pares -1).
Entretanto, vamos buscar o valor do enunciado através de uma manipulação de potências

$det = yx(-1)^{1}(-1)^{n}(\frac{x^{n-1} - y^{n-1}}{x-y})$

Vamos inverter o número -1 e mudar o sinal do expoente:
$det = yx(\frac{1}{-1})^{-1}(-1)^{n}(\frac{x^{n-1} - y^{n-1}}{x-y}) = yx(-1)^{-1}(-1)^{n}(\frac{x^{n-1} - y^{n-1}}{x-y}) =$

Finalizando:
$det = yx(-1)^{n-1}(\frac{x^{n-1} - y^{n-1}}{x-y})$

por **Leonardo Sueiro** Sáb 17 Nov 2012, 21:32

Observação: tudo que digitei eu fiz no caderno.
Caso tenha passado algo errado, favor avisar.

por Glauber Damasceno Sáb 17 Nov 2012, 21:51

Excelente questão . Valeu camarada leosueiro123.

por **Leonardo Sueiro** Sáb 17 Nov 2012, 21:53

Glauber Damasceno escreveu:Excelente questão . Valeu camarada leosueiro123.

Fico lhe devendo aquele tópico
estou morto de cansado

Até ..

por **Robson Jr.** Dom 18 Nov 2012, 13:18

leosueiro123 escreveu:Amigo Robson, você me deve uma cabeça nova.

HAUHAUHAUAHUAHUAHAU

Sinceramente, leo, parabéns pela solução heróica!

Você conhece um recurso de matrizes chamado "método da variação de parâmetros"? É uma técnica bem útil que, inclusive, permite uma solução legal para o problema deste tópico.