Interpretação da notação da função derivada

por Convidado Sáb 18 Ago 2012, 18:45

Salve, salve!!

Estive refletindo um pouco sobre funções derivadas e cheguei a uma dúvida:
...

Se f'(x) é uma maneria concisa de escrever [f(x)]', então alguma coisa não tá certa... vejam:

A definição de derivada da função inversa é:
[f⁻¹(x)]' = 1/f'(f⁻¹(x))

mas aplicando que: f'(x) = [f(x)]'

então tem-se que:
[f⁻¹(x)]' = 1/[f(f⁻¹(x))]'

e [f(f⁻¹(x))]' é igual a [f(f⁻¹(x))]'·[(f⁻¹(x)]'... e [f(f⁻¹(x))]' é igual a [f(f⁻¹(x))]'·[(f⁻¹(x)]'... e [f(f⁻¹(x))]' é igual a [f(f⁻¹(x))]'·[(f⁻¹(x)]'.........

ou seja... [f(x)]' não pode ser igual a f'(x)... pq senão ocorre este feito infinito acima!

Hummm... isso tem explicação??

Obg,

José

por rihan Sáb 18 Ago 2012, 22:31

Jhenrique escreveu:Salve, salve!!

Estive refletindo um pouco sobre funções derivadas e cheguei a uma dúvida:
...

Se f'(x) é uma maneria concisa de escrever [f(x)]', então alguma coisa não tá certa... vejam:

A definição de derivada da função inversa é:
[f⁻¹(x)]' = 1/f'(f⁻¹(x))

mas aplicando que: f'(x) = [f(x)]'

então tem-se que:
[f⁻¹(x)]' = 1/[f(f⁻¹(x))]'---------------->

É verdade que:

[f(x)]'≡f'(x)

Mas:

[ f ( g(x) ) ]' ≠ f' ( g(x) ) !!!!

E sim a:

[f(g(x))]' = f'(g).g'(x)

Exemplificando:

g(x) = x²

f(x) = sen(x)

f(g(x)) = sen(g) = sen(x²)

[f(g(x))]' = f'(g).g'(x) = (sen(g))'.(x²)' = cos(g) . 2x = cos(x²) . 2x

Não complica as coisas ...

E lembre-se sempre de que:

f(f-¹(x)) ≡ f-¹(f(x)) ≡ x

E de :

dx/dy = 1/(dy/dx)

Nessa forma de quociente de infinitésimos (notação de Leibniz ) , fica mais simples, mais "limpo" do que na notação "linha" de Lagrange, além de ficar evidente, tanto para regra das inversas como para a regra da cadeia:

[y(g(x))] ' = dy/dx = (dy/dg) . (dg/dx)

por Convidado Dom 19 Ago 2012, 11:27

rihan escreveu:
É verdade que:

[f(x)]'≡f'(x)

Mas:

[ f ( g(x) ) ]' ≠ f' ( g(x) ) !!!!

E sim a:

[f(g(x))]' = f'(g(x)).g'(x)

então...

É verdade que:

[f(x)]'≡f'(x)

E sim a:

[f(g(x))]' = f'(g(x)).g'(x) = [f(g(x))]'.[g(x)]'

não estou complicando... eu mesmo cheguei a esta conclusão quando decidi usar nos meus cálculos a notação [f(x)]' em vez da f'(x), daí observei isto.

por rihan Dom 19 Ago 2012, 13:57

...

Penso que você deva reler o meu post.

por Convidado Dom 19 Ago 2012, 22:34

estou seguindo a sua linha de raciocínio...

vc concorda que a expressão matemática abaixo é verdadeira
[f(x)]'≡f'(x)

e vc tbm concorda que esta outra expressão matemática é verdadeira
[f(g(x))]' = f'(g(x)).g'(x)

então, se as duas premissas são verdadeiras, a conclusão é inevitável!
[f(g(x))]' = [f(g(x))]'.[g(x)]'

e aí, como me explica isto?

por **Iago6** Seg 20 Ago 2012, 00:55

Jhenrique, essa notação é tão confusa quanto a sua dúvida.
Siga o conselho do rihan, e adote uma notação mais limpa e simples. A do Leibnitz dy/dx , além de mais útil, é intuitiva e bem mais sugestiva, só peca por ser um pouco "maior" que as outras, mas compensa pela sua eficiência na hora de interpreta-la.

$\large \dpi{100} [f(g(x))]'= [f(u)]'= \;\; \Leftrightarrow \;\; \boxed {\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \; ^\mathbf{.}\;\frac{du}{dx}}$

por rihan Seg 20 Ago 2012, 03:59

Jhenrique escreveu:estou seguindo a sua linha de raciocínio... ---> Não, não. Como você não releu atentamente o que eu escrevi nem o que você escreveu, esta é a SUA LINHA de raciocínio e não a minha.

vc concorda que a expressão matemática abaixo é verdadeira
[f(x)]'≡f'(x) ---> Isto é uma DEFINIÇÃO e não é uma expressão

e vc tbm concorda que esta outra expressão matemática é verdadeira
[f(g(x))]' = f'(g(x)).g'(x)

então, se as duas premissas são verdadeiras, a conclusão é inevitável!
[f(g(x))]' = [f(g(x))]'.[g(x)]'

e aí, como me explica isto? --> Já expliquei, mas você não leu, ou releu.

Vou repetir mais uma vez, na esperança que você leia.

Vou deixar os símbolos mais limpos, para facilitar.

Você disse que :

( f(x) )' é idêntico, é a mesma coisa que f '(x) , alem de ser mais conciso --> verdadeiro.

Continuou, colocando a expressão da função inversa:

(f-¹ (x) )' = 1/f'(f-¹(x)) --> verdadeiro.

E como:( f(x) )' ≡ f '(x) , então: (f-¹ (x) )' = 1/(f ( f-¹(x) ) ) ' ---> Aí eu disse que isso é FALSO !

E expliquei porque é falso:

A f-¹(x) chamei de g(x), para generalizar.

E escrevi:

( f(x) )' ≡ f '(x) é verdadeiro, MAS ( f( g(x) ) )' NÃO É A MESMA COISA QUE ( f'( g(x) ) ) !!!!!!!!!!!!!!!

Que foi o que você afirmou ao substituir: f'(f-¹(x)) por (f ( f-¹(x) ) ) '

Parou aqui o seu "raciocícinio", ele é inválido, o que vier depois é falso.

por Convidado Seg 20 Ago 2012, 15:16

eu entendi, vc provou que tal identidade é falsa...
mas oq eu não entendo é, como que hora ela é verdadeira e hora ela é falsa...
pq a notação [...]' é muito utilizada, mesmo tendo este problema! o.0
inclusive, minha dúvida com respeito a isto surgiu depois de ver a videoaula do Luiz Aquino
https://www.youtube.com/watch?v=4OJ714aE4Zg
nela, e em muitas outras aulas, é estabelecida uma igualdade entre ...' e [...]', e eu decidi usar uma só, a segunda... só que dá bê-ó!

:S

por rihan Seg 20 Ago 2012, 16:15

O prolema não é a notação. É você !

Você não conseguir entender que uma coisa é uma coisa e outra coisa é outra coisa.

Como parece-me que você gosta de português, vamos lá.

Linha da Coisa ou Coisa-Linha ? Eis a questãozinha !

Linha da função de x

É a mesma coisa

Que função-linha de x.

Isso é uma coisa

Que todo mundo diz.

Mas a linha da função de uma função de x

Não é o mesmo que

Função-linha de uma função de x

Dá mesma forma que

Linha agá não é a galinha...

Nem linha eme é Emilinha !

A regra é clara que só o que !

Se éfe é so de x, a gente pode mexer,

Mas se éfe tem filhinha de x,

Que dá até pra ver,

Deixa quieto a menina,

Senão f ' que você vai ter !

Mas, se mesmo assim não resistir

E linha quiser mexer,

Siga bem essa regrinha :

Bota linha na menina,

Mas, também

Bota linha na filhinha !