Divisibilidade por 4

Para um numero inteiro c qualquer, prove que um e apenas um dos
numeros c, c + 1, c + 2 e c + 3 é divisível por 4.

Ivoski escreveu:Para um numero inteiro c qualquer, prove que um e apenas um dos
numeros c, c + 1, c + 2 e c + 3 é divisível por 4.

Boa noite,

Se c for múltiplo de 4, vem: 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3
Se c+1 for múltiplo de 4....: 4k-1, 4k, 4k+1, 4k+2
Se c+2 for múltiplo de 4....: 4k-2, 4k-1, 4k, 4k+1
Se c+3 for múltiplo de 4....: 4k-3, 4k-2, 4k-1, 4k

Assim, dentro de uma série de 4 números consecutivos, somente um deles será múltiplo de 4!









Tenha um final de semana abençoado!

Seja r o resto da divisão de c por 4. Se r for 0, então um
dos quatro é múltiplo de 4, então suponha que r não é 0. Logo, r pode valer 1,
2 ou 3 (não pode valer 4 ou mais, porque caso contrário poderíamos continuar
dividindo por 4).
Se r valer 1, então faltam 3 unidades para c ser um múltiplo de 4. Olha que
sorte, c+3 está na lista! Então se r for 1, c+3 é múltiplo de 4.
Se r valer 2, então faltam 2 unidades para c ser um múltiplo de 4. Ou seja, c+2
é um múltiplo de 4, e que também está na lista.
Último caso: r vale 3. Nesse caso, c+1 tem que ser um múltiplo de 4.
Consideramos todos os casos possíveis, e em todos eles algum dos 4 números
acabava sendo um múltiplo de 4. Provaremos agora que não podem haver mais de 2
múltiplos de 4 dentre os números da lista.

Suponha, por absurdo, que existam dois (digamos, x e y) tais que ambos sejam
múltiplos de 4. Suponha, sem perda de generalidade, que x>y.
Se x e y são múltiplos de 4, então x-y também é. Mas c, c+1, c+2 e c+3 são 4
números consecutivos, então o maior valor possível para x-y é 3, e o menor é 1.
Dentre os números entre 1 e 3, nenhum é um múltiplo de 4, portanto chegamos num
absurdo, que veio da hipótese de que existem dois múltiplos de 4 na lista.
Portanto, não podem haver dois ou mais múltiplos de 4 na lista. Como já
provamos que deve haver ao menos 1, então existe um e apenas um múltiplo de 4.