CN 81 - equação irracional

por **raimundo pereira** Qui 09 Ago 2012, 20:37

A soma das soluções da equação
$\sqrt{2x+1}-4\sqrt[3]{2x+1}+3\sqrt[6]{2x+1}=0$
dá um número:
a) nulo
b) par entre 42 e 310
c) ímpar maior que 160
d) irracional
e) racional

Gabarito: e

por **Al.Henrique** Sex 10 Ago 2012, 05:03

Boa noite Raimundo,

A ideia é passar as raízes para o mesmo indice. Percebe-se que a menor delas é a raiz sexta. Vamos então, adequar todos a essa raiz, veja :

$\sqrt[6]{(2x+1)^3} - 4.\sqrt[6]{(2x+1)^2} + 3\sqrt[6]{2x+1} = 0$

Perceba que os expoentes são os mesmos. Por exemplo, o primeiro está elevado á 3/6, que na resulta em 1/2, como está na questão. Continuando :

Vou chamar a raiz sexta de 2x mais 1 de alfa, ou seja, o terceiro e último termo da expressão lá da questão. Então vamos ter :

$\alpha^3 - 4\alpha^2 +3\alpha = 0$

$\alpha(\alpha^2 - 4\alpha +3) = 0$

$\alpha = 0$

ou

$\alpha^2 - 4\alpha +3 = 0$

Da equação do segundo grau, temo as raízes :

$\alpha = 3$

$\alpha = 1$

Mas, não queremos a soma dos valores da alfa, mas de x.

$\alpha = \sqrt [6] {2x+1}$

Então teremos três valores, veja :

$0 = \sqrt [6] {2x+1}$

$1 = \sqrt [6] {2x+1}$

$3 = \sqrt [6] {2x+1}$

Onde resulta, respectivamente :

$x = -\frac {1}{2}$

$x = 0$

$\frac {3^6-1}{2} = x$

Percebe-se assim, que sua soma confere com o gabarito.

Espero ter ajudado!