Expresse an

por Nat' Qui 09 Ago 2012, 15:34

Boa tarde pessoal!

Alguém pode me ajudar com essa?

Dada a sequência:a1, a2, a3, ... satisfazendo para todo n: an+1 - 2an + an-1 = 1. Expresse an em termos de a1,a2 e n.

Resp: an = (n-1)a2 - (n-2)a1 + (n-2)(n-1)/2

Agradeço desde já! ^^

por **fantecele** Qua 31 maio 2017, 23:35

Vamos definir a sequência $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ , dessa forma:

$\\a_{n+1}-2a_{n}+a_{n-1}=1\\(a_{n+1}-a_{n})-(a_{n}-a_{n-1})=1\\b_{n}-b_{n-1}=1\\\\b_{2}-b_{1}=1\\b_{3}-b_{2}=1\\b_{4}-b_{3}=1\\...\\b_{n}-b_{n-1}=1$

Somando tudo:

$\\b_{n}-b_{1}=n-1\\a_{n+1}-a_{n}=n-1+(a_{2}-a_{1})\\\\a_{2}-a_{1}=0+(a_{2}-a_{1})\\a_{3}-a_{2}=1+(a_{2}-a_{1})\\a_{4}-a_{3}=2+(a_{2}-a_{1})\\...\\a_{n}-a_{n-1}=n-2+(a_{2}-a_{1})$

Somando tudo:

$\\a_{n}-a_{1}=\frac{(n-2)(n-1)}{2}+(n-1)(a_{2}-a_{1})\\a_{n}=(n-1)a_{2}-(n-2)a_{1}+\frac{(n-2)(n-1)}{2}$

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