P.A. "
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por Nat' Seg 06 Ago 2012, 15:14
Se (x,y,z) é P.A. e (x³,y³,z³) também, então o que se pode concluir?
Resp: y=0 e x=y=z
Tem se as equações: x³ + z³ = 2y³ & x + z = 2y
Manipulando-as eu consegui chergar em x=y=z.
Só faltou encontrar a condição y=0. Esta condição encontra-se através da manipulação algébrica também, ou através de outra forma?
Obrigada!
Resp: y=0 e x=y=z
Tem se as equações: x³ + z³ = 2y³ & x + z = 2y
Manipulando-as eu consegui chergar em x=y=z.
Só faltou encontrar a condição y=0. Esta condição encontra-se através da manipulação algébrica também, ou através de outra forma?
Obrigada!
Nat'- Mestre Jedi
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Re: P.A. "
por ivomilton Seg 06 Ago 2012, 16:26
Nat' escreveu:Se (x,y,z) é P.A. e (x³,y³,z³) também, então o que se pode concluir?
Resp: y=0 e x=y=z
Tem se as equações: x³ + z³ = 2y³ & x + z = 2y
Manipulando-as eu consegui chergar em x=y=z.
Só faltou encontrar a condição y=0. Esta condição encontra-se através da manipulação algébrica também, ou através de outra forma?
Obrigada!
Boa tarde, Nat'.
Uma dica:
Uma P.A. também pode ser do tipo
-5 . 0 . 5 .............................................. (I)
(-5)³ . 0 . (5)³ → -125 . 0 . 125 ............ (II)
Veja que tanto (I) como (II) são P.A.'s, onde o termo médio é igual a zero.
Isto significa que podemos ter:
x+z = 2y
(ou)
x+z = 0
donde,
2y=0
y=0
Será que esta informação te ajudará?
Um abraço.
ivomilton- Membro de Honra
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Re: P.A. "
por Robson Jr. Seg 06 Ago 2012, 16:34
Nat, eu encontrei duas respostas:
a) x = y = z
b) y = 0 e x = -z
No caso a), teríamos: {x, x, x} e {x³, x³, x³}, duas progressões estacionárias.
No caso b), teríamos: {x, 0, -x} e {x³, 0, -x³}, progressões de razão -x e -x³, respectivamente.
As respostas encontradas são coerentes, então deve haver algum problema com a primeira resposta do seu gabarito.
Minha solução:
 \Rightarrow x+z=2y \text{ (Eq 1)} \\ \text{PA: } (x^3, y^3, z^3) \Rightarrow x^3+z^3=2y^3 \text{ (Eq 2)} "\small \\ \text{PA: } (x, \ y, \ z) \Rightarrow x+z=2y \text{ (Eq 1)} \\ \text{PA: } (x^3, y^3, z^3) \Rightarrow x^3+z^3=2y^3 \text{ (Eq 2)}")
Elevando a primeira equação ao cubo:
=8y^3 "\small x^3+z^3+3xz(x+z)=8y^3")
Usando a segunda equação:
=8y^3 \Leftrightarrow xz(x+z)=2y^3 "\small 2y^3+3xz(x+z)=8y^3 \Leftrightarrow xz(x+z)=2y^3")
Usando novamente a segunda equação:
=x^3+z^3 "\small xz(x+z)=x^3+z^3")
Aplicando o produto notável (a³ + b³) = (a + b)(a² - ab + b²):
=(x+z)(x^2-xz+z^2) \Leftrightarrow \\ (x+z)(x^2-2xz+z^2)=0 \Leftrightarrow \\(x+z)(x-z)^2=0 \Leftrightarrow \\ x=-z \text{ ou }x=z "\small \\ xz(x+z)=(x+z)(x^2-xz+z^2) \Leftrightarrow \\ (x+z)(x^2-2xz+z^2)=0 \Leftrightarrow \\(x+z)(x-z)^2=0 \Leftrightarrow \\ x=-z \text{ ou }x=z")
Se x = z, de Eq 1:
x = y = z
Se x = -z, de Eq 1:
=2y \Leftrightarrow y=0 "\small x+(-x)=2y \Leftrightarrow y=0")
x = -z e y = 0
a) x = y = z
b) y = 0 e x = -z
No caso a), teríamos: {x, x, x} e {x³, x³, x³}, duas progressões estacionárias.
No caso b), teríamos: {x, 0, -x} e {x³, 0, -x³}, progressões de razão -x e -x³, respectivamente.
As respostas encontradas são coerentes, então deve haver algum problema com a primeira resposta do seu gabarito.
Minha solução:
Elevando a primeira equação ao cubo:
Usando a segunda equação:
Usando novamente a segunda equação:
Aplicando o produto notável (a³ + b³) = (a + b)(a² - ab + b²):
Se x = z, de Eq 1:
x = y = z
Se x = -z, de Eq 1:
x = -z e y = 0
Robson Jr.- Fera
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Re: P.A. "
por Nat' Seg 06 Ago 2012, 19:15
Robson,
Eu fiz assim:
x + y =2y
x³ + z³ = 2y³
x³ + z³ = (x+y)(x² - xz + z²)
x³ + z³ = (2y)(x² - xz + z²) .:. 2y³/2y = x² - xz + z² .:. y² = x² - xz + z² .:. y² = (x + z)² - 3xz .:. y² = xz .:.
(x + y)² =(2y)² .:. (x + z)² = 4xz .:. (x-z)² = 0 .:. x = z
x³ + z³ = 2y³ .:. 2x³ = 2y³ .:. x = y.:.
x=y=z.:.
A minha dúvida estava no fato da onde saiu o y=0, mas acho que agora com a dica do Ivomilton, dá para sair! Mas de qualquer forma, obrigada!
Eu fiz assim:
x + y =2y
x³ + z³ = 2y³
x³ + z³ = (x+y)(x² - xz + z²)
x³ + z³ = (2y)(x² - xz + z²) .:. 2y³/2y = x² - xz + z² .:. y² = x² - xz + z² .:. y² = (x + z)² - 3xz .:. y² = xz .:.
(x + y)² =(2y)² .:. (x + z)² = 4xz .:. (x-z)² = 0 .:. x = z
x³ + z³ = 2y³ .:. 2x³ = 2y³ .:. x = y.:.
x=y=z.:.
A minha dúvida estava no fato da onde saiu o y=0, mas acho que agora com a dica do Ivomilton, dá para sair! Mas de qualquer forma, obrigada!
Última edição por Nat' em Ter 07 Ago 2012, 00:21, editado 1 vez(es)
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