Dúvida - questão de indução

Bom, estou tentando entender a resolução de um exercício, mas há algumas ''coisas'' que estão vagas pra mim.

Demonstrar que a soma dos n primeiros números naturais é igual a [n(n+1)]/2

Resolução

Indiquemos por Sn a soma procurada Sn=1+2+3+...n

1º) Para n = 1 a hipótese é válida porque S1 = 1 = [1(1+1)]/2

2º) Suponhamos que Sk = 1+2+3...+k = [k(k+1)]/2

Demonstraremos que Sk+1 = 1+2+3+...+k+(k+1) =[(k+1)(k+1)]/2

De fato

Sk+1 = Sk + (k+1) = (k+1)/2 + (k+1) = [(k+1) (k+1)]/2

Bom, sei que para provar por indução ele tem que provar que a hipótese é válida para n =1 e para n+1\geq 0 (me corrijam se eu estiver errado) . Esse exercício me deixou um pouco confuso. n igual a 1 quer dizer que o último termo da sequência é 1? Ou a soma de todos os termos é igual a 1? Ou que a sequência tem apenas 1 termo?

Esta parte não faz sentido para mim.

Sk+1 = Sk + (k+1) = (k+1)/2 + (k+1) = [(k+1) (k+1)]/2

(k+1)/2 + (k+1) = [(k+1) (k+1)]/2 Essa igualdade é falsa ou eu que entendi errado?

Grato desde já.

Demonstrar que a soma dos n primeiros números naturais é igual a [n(n+1)]/2

Seja P a propriedade a ser demonstrada:

--> P(1) = 1*2/2 = 1 --> Vale P(1).

--> P(n) = [n(n+1)]/2; sendo válido P(n), deve ser válido P(n+1). Claramente temos que devemos obter P(n +1) como P(n) + (n+1) --> [n(n+1)]/2 +( n+1)

[n(n+1)]/2 +( n+1) = [n(n + 1) + 2(n+1)]/2 = [(n+1)(n+2)]/2

Verificando P(n + 1):

P(n + 1) = (n+1)(n+2)/2

Logo vale P(n + 1), concluindo assim a prova por indução.

Acho que pode ser assim... o que acha?

petebest007 escreveu:

Bom, sei que para provar por indução ele tem que provar que a hipótese é válida para n =1 e para n+1\geq 0 (me corrijam se eu estiver errado) . Esse exercício me deixou um pouco confuso. n igual a 1 quer dizer que o último termo da sequência é 1? Ou a soma de todos os termos é igual a 1? Ou que a sequência tem apenas 1 termo?

1 é o único termo da sequência. Logo a soma é 1 e a quantidade também o é.

Para se chegar nesta relação, tem-se um mecanismo bem interessante:

Considere a identidade:

(1 + i)² - i² = 1 + 2i

Substituindo o i por 1,2,3,...,n:

-->2² - 1² = 1 + 2*1
-->3² - 2² = 1 + 2*2
-->4² - 3² = 1 + 2*3
...
-->(n+1)² - n² = 1 + 2*n

Somando tudo:

(n + 1)² - 1 = n + 2*(1 + 2 + 3 + ... + n)
n² + 2n + 1 - 1 = n + 2*Sn
2Sn = n² + n
2Sn = n(n + 1)
Sn = [n(n+1)]/2

Joao Gabriel, muito obrigado !