Números Complexos no Plano

Boa tarde,

Alguém consegue dar uma ajuda?


(A imagem é só para ter uma noção. Foi tirada com a máquina do PC, logo está muito fraquinha porque não a encontrei na Internet. O número que tem como raio é -2.)

1. Na figura está representado, a sombreado, no plano complexo, um quarto de círculo com centro na origem do referencial e raio 2. Seja o número complexo z=cis(∏/4) .
Qual dos seguintes complexos tem imagem geométrica na região sombreada?

A) z³
B) z³ - i
C) z^7
D) (z^7) + i

A resposta correcta é a B.
Alguém consegue explicar? Agradeço desde já.

ALGEBRICAMENTE:


O módulo do complexo requerido:

|w| ≤ 2

O seu argumento ("ângulo"):

180º ≤ a ≤ 270°

a) z³=(cis(∏/4))³ = cis(3∏/4) --> argumento não bate (135°)

c) z^7=(cis(∏/4))^7=cis(7∏/4) -->argumento não bate(315º)

d) (z^7) + i = cis(7∏/4) + i = cos(-45º) + i.sen(-45°) + i =

V(2)/2 - V(2)i/2 + i = V(2)/2 + (1 - V(2) /2)i ≈ 0,7 + 0,3 i

V(2)/2 --> Positivo

(1 - V(2) /2) --> Positivo --> 0º < a < 90° --> --> argumento não bate .

b) z³ - i = cis(3∏/4) - i = cos(135º) + i.sen(135°) - i =

V(2)/2 - V(2)i/2 + i = -V(2)/2 + (V(2)/2 - 1)i ≈ - 0,7 -0,3 i

-V(2)/2 --> negativo

(1 + V(2) /2-1) --> negativo

--> 180º < a < 270° --> argumento bate !

|w| ≈ V(0,50 + 0,09) ≈ 0,77 < 2 módulo bate -- > OK !



GRAFICAMENTE:


Graficamente é mais rápido...

Muito obrigada, Rihan.
Fiquei a perceber muito bem.