Lucro máximo (dois produtos)

por Margareti Lazareti Qua 13 Jun 2012, 16:48

Olá,

Estou com dificuldade na seguinte questão:

Considere uma empresa que produz e comercializa dois produtos: X e Y. Sabendo-se que o seu lucro é dado pela expressão L = 20X –X^2 + 32Y - 2Y^2 e que sua produção é limitada a 24 unidades, qual o lucro máximo que a empresa poderá obter?

Poderiam me ajudar por favor?
Obrigada,
Margareti

por **Elcioschin** Qua 13 Jun 2012, 17:17

x + y = 24 ----> y = 24 - x -----> I

L = 20x - x² + 32x - 2y² ----> II

I em II ----> L = 20x - x² + 32*(24 - x) - 2*(24 - x)² ----> L = - 3x² + 84x - 384

A função lucro (do 2º grau) é uma parábola com a concavidade para baixo (a < 0).
O valor máximo da função ocorre no vértice:

xV = - b/2a ----> xV = - 84/2*(-3) -----> xV = 14 ----> yV = 10

Lmáx = - 3*14² + 84*14 - 384 -----> Lmáx = 204

por rihan Qua 13 Jun 2012, 17:43

x + y = 24 --> y = 24 - x

L = 20x - x² + 32y - 2y²

L = 20x - x² + 32(24 - x) - 2(24 -x)²

L = 20x - x² + 32.24 - 32x - 2(24² - 2.24x + x²)

L = 20x - x² + 32.24 - 32x - 2.24² + 4.24x - 2x²

L = - x² - 2x² -32x + 20x + 4.24x - 2.24² + 32.24

L = - 3x² - (32 - 20 - 4.24)x - 24(2.24 -32)

L = - 3x² - (12 - 96)x - 24(48 - 32)

L = - 3x² + - (- 84)x - 24.16

L = - 3x² + 84x - 384

L = ax² + bx + c

a = -3

b = 84

c = - 384

a < 0 --> Concavidade para baixo ( tristinha

) --> Máximo

xV = -b / 2a

xV = -84 / (2.(-3)) = 42 / 3 = 14

xV = 14

Lm = - 3(14)² + 84(14) - 384

Lm = -3.196 + 1176 - 384

Lm = -588 + 792

Lm = 204

Creio que Elcio se distraiu nas contas finais...

por **Elcioschin** Qui 14 Jun 2012, 08:53

Foi exatamente isto rihan. Jé editei minha resposta em vermelho

por rihan Qui 14 Jun 2012, 11:01

por Margareti Lazareti Seg 18 Jun 2012, 14:45

Obrigada pela ajuda.

Notei também que nesta questão eu chego ao 204 resolvendo o -(delta/ 4ac). É uma forma alternativa de se chegar ao Lmax?

Elcioschin escreveu:x + y = 24 ----> y = 24 - x -----> I

L = 20x - x² + 32x - 2y² ----> II

I em II ----> L = 20x - x² + 32*(24 - x) - 2*(24 - x)² ----> L = - 3x² + 84x - 384

A função lucro (do 2º grau) é uma parábola com a concavidade para baixo (a < 0).
O valor máximo da função ocorre no vértice:

xV = - b/2a ----> xV = - 84/2*(-3) -----> xV = 14 ----> yV = 10

Lmáx = - 3*14² + 84*14 - 384 -----> Lmáx = 204

por **Elcioschin** Seg 18 Jun 2012, 15:19

Certamente que chega. É uma das formas sim

por rihan Seg 18 Jun 2012, 15:47

Ponto de máximo ou mínimo da função ou vértice da parábola : V(xV; yV)

xV = -b/2a

yV = y(yV) = a.xV² + b.xV + c = a. (-b/2a)² + b.(-b/2a) + c

yV = ab²/4a² - b²/2a + c

yV = b²/4a - b²/2a + c

yV = (b² - 2b² 4 4a.c ) / 4a

yV = (-b² + 4.a.c)/4a

yV = -(b² - 4.a.c)/4a

yV = -∆ /4a