Circuncentro
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Circuncentro
por Al.Henrique Dom 27 maio 2012, 08:29
O circuncentro do triângulo de vértices A(2,6) B(4,
e C(8,14) é :
(A) (-15 , 25)
(B) (14/3 , 28/3)
(C) (44 , -22)
(D) (-10 , 20)
(E) (5, 9)
Gabarito :
Galera, alguém sabe fazer essa questão bem rápido ?
O triângulo não é retângulo, então o circuncêntro não fica no ponto médio da hipotenusa.
Lembro que para o Baricentro, existe uma formula que é so jogar as coodenadas dos pontos e dividir por 3.
No caso do Circuncentro, existe alguma outra maneira de resolver sem ser fazendo as equações das retas mediatrizes e depois fazendo a interseção delas ? Acho isso muito trabalhoso..
Alguém com uma dica ?
e C(8,14) é :(A) (-15 , 25)
(B) (14/3 , 28/3)
(C) (44 , -22)
(D) (-10 , 20)
(E) (5, 9)
Gabarito :
- Spoiler:
- Letra (A)(-15 , 25)
Galera, alguém sabe fazer essa questão bem rápido ?
O triângulo não é retângulo, então o circuncêntro não fica no ponto médio da hipotenusa.
Lembro que para o Baricentro, existe uma formula que é so jogar as coodenadas dos pontos e dividir por 3.
No caso do Circuncentro, existe alguma outra maneira de resolver sem ser fazendo as equações das retas mediatrizes e depois fazendo a interseção delas ? Acho isso muito trabalhoso..
Alguém com uma dica ?
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Re: Circuncentro
por arimateiab Dom 27 maio 2012, 11:48
Partimos da definição de circuncentro .
O circuncentro de um triângulo, é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.Esse ponto é tal que as distancias dos vértices a ele são iguais.
Seja P=(x,y) o circuncentro.
E sejam A(2,6) B(4,8.) e C(8,14) os vértices.
Então:
d(P,A)=d(P,B)=d(P,C)
(x-2)² + (y-6)² = (x-4)²+(y-8 )² = (x-8 )²+(y-14)²
Donde:
(x-2)² + (y-6)² = (x-4)²+(y-8 )² (I)
(x-2)² + (y-6)² = (x-8 )²+(y-14)² (II)
(I)
x²-4x+4+y²-12y+36=x²-8x+16+y²-16y+64
x + y = 10
(II)
(x-2)² + (y-6)² = (x-8 )²+(y-14)²
3x+4y=55
Resolvendo:
x + y = 10 => y = 10-x => y = 25
3x+4y=55 => 3x + 40 - 4x = 55 => x = -15
Portanto o ponto P tem coordenadas (-15,25)
O circuncentro de um triângulo, é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.Esse ponto é tal que as distancias dos vértices a ele são iguais.
Seja P=(x,y) o circuncentro.
E sejam A(2,6) B(4,8.) e C(8,14) os vértices.
Então:
d(P,A)=d(P,B)=d(P,C)
(x-2)² + (y-6)² = (x-4)²+(y-8 )² = (x-8 )²+(y-14)²
Donde:
(x-2)² + (y-6)² = (x-4)²+(y-8 )² (I)
(x-2)² + (y-6)² = (x-8 )²+(y-14)² (II)
(I)
x²-4x+4+y²-12y+36=x²-8x+16+y²-16y+64
x + y = 10
(II)
(x-2)² + (y-6)² = (x-8 )²+(y-14)²
3x+4y=55
Resolvendo:
x + y = 10 => y = 10-x => y = 25
3x+4y=55 => 3x + 40 - 4x = 55 => x = -15
Portanto o ponto P tem coordenadas (-15,25)
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Re: Circuncentro
por velloso Dom 27 maio 2012, 12:06
É, acho que não existe nenhuma fórmula que generalize. Mas fazendo da forma do grande Ari, vai rolar uma série de cortes generosos. 
dP,A = dP,B
dP,B = dP,C
dP,A = dP,B
dP,B = dP,C
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Re: Circuncentro
por Al.Henrique Dom 27 maio 2012, 12:17
arimateiab escreveu:Partimos da definição de circuncentro .
O circuncentro de um triângulo, é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.Esse ponto é tal que as distancias dos vértices a ele são iguais.
Seja P=(x,y) o circuncentro.
E sejam A(2,6) B(4,8.) e C(8,14) os vértices.
Então:
d(P,A)=d(P,B)=d(P,C)
(x-2)² + (y-6)² = (x-4)²+(y-8 )² = (x-8 )²+(y-14)²
Donde:
(x-2)² + (y-6)² = (x-4)²+(y-8 )² (I)
(x-2)² + (y-6)² = (x-8 )²+(y-14)² (II)
(I)
x²-4x+4+y²-12y+36=x²-8x+16+y²-16y+64
x + y = 10
(II)
(x-2)² + (y-6)² = (x-8 )²+(y-14)²
3x+4y=55
Resolvendo:
x + y = 10 => y = 10-x => y = 25
3x+4y=55 => 3x + 40 - 4x = 55 => x = -15
Portanto o ponto P tem coordenadas (-15,25)
Exelente solução.. Não tinha pensando nisso.. Muito obrigado!
OBS: Tenho me confundido recentemente a respeito de circunscrito e inscrito..
Tem alguma maneira facil de gravar ? :scratch:
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