(UFPE-97) - Funções

por Luiz Eduardo de Souza Ard Qua 16 maio 2012, 19:41

Seja f:(0, 1) → ℝ , dada por: f(x) = (1 - 2x)/(x^2 - x). Analise as informações:

0) f é injetora.

1) f não tem raízes no intervalo (0,1).

2) A imagem de f não contem 1.

3) f é bijetora .

4) f(x) < 0 se e só se x>1/2.

por **Emanuel Dias** Sáb 04 Jan 2020, 22:01

Gabarito V F F F F. Como provar que a função é injetora?

por Iuric Ter 28 Dez 2021, 11:10

Alguém conseguiu provar a afirmação 0?

Tentei por f(a)=f(b) e cheguei em a+b=2ab+1

por **Rory Gilmore** Ter 28 Dez 2021, 13:05

Não vejo alternativa a não ser usar cálculo.

Como f é racional, é contínua em seu domínio.

lim f(x) = - ∞
x -> 0+

lim f(x) = + ∞
x -> 1-

A derivada de f é f'(x) = (2x² - 2x + 1)/(x² - x)² que é sempre positiva no intervalo (0, 1), logo f é crescente em tal intervalo e portanto é injetora nesse intervalo.

por Iuric Ter 28 Dez 2021, 15:58

Obrigado!

por **SilverBladeII** Ter 28 Dez 2021, 21:50

sejam a e b tais que f(a)=f(b)
então
(1-2a)(b²-b)=(1-2b)(a²-a)
b²-b-2ab²+2ab=a²-a-2ba²+2ab
b²-a²=2ab²-2ba²=2ab(b-a)
então
(b+a)(b-a)=2ab(b-a)

suponha que b é diferente de a, temos

b+a=2ab, mas então, como a e b são maiores que 0, por MA MG,
[latex]a+b \geq 2\sqrt{ab}[/latex]
como para 0 < x < 1 vale
[latex]\sqrt{x} > x[/latex]
temos que
[latex]2ab = a+b \geq 2\sqrt{ab} > 2ab[/latex]
e temos um absurdo. Portanto a=b.
[latex][/latex]

por Iuric Ter 28 Dez 2021, 22:03

Bela resolução!

por Sbr(Ryan) Ter 05 Dez 2023, 15:24

Luiz Eduardo de Souza Ard escreveu:Seja f:(0, 1) → ℝ , dada por: f(x) = (1 - 2x)/(x^2 - x). Analise as informações:

0) f é injetora.

1) f não tem raízes no intervalo (0,1).

2) A imagem de f não contem 1.

3) f é bijetora .

4) f(x) < 0 se e só se x>1/2.

alguém consegue resolver as alternativas. Consegui só a 4, já que para ela ser para f(x)< 0, si e somente si x< 1.