Conservação da quantidade de movimento

Uma nave espacial pode utilizar a ação gravitacional dos planetas para aumentas sua velocidade. Considere uma nave de massa m com velocidade de módulo 12 km/s e um planeta de massa M com velocidade de 13 km/s (ambas as velocidades são medidas em relação ao sol), conforme a figura a seguir

Imagem: https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/32/questaow.jpg/


Determine o módulo da velocidade (v) da nave após ter contornado o planeta, para isso, considere M >> m.

Resposta: 38 km/s

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Estou fazendo assim:

Como o sistema está livre de forças externas, há conservação da quantidade de movimento, logo:

Qdepois = Qantes.
Qdepois = M.13 + m.v
Qantes = -m.12 + M.13

Como Qa=Qd:
M.13 + mv = -12m + M.13 => mv = -12m => v = -12km/s

Sei que está errado, pois a velocidade irá mudar, mas não consigo enxergar o erro.

Cara tem um modo fácil de resolver isso. Essa questão se refere a um método muito utilizado pela NASA para acelerar as sondas espaciais. Isso é chamado Estilingue Gravitacional.
Primeiro fato a se considerar é que a questão falou "M >>m" isso significa dizer que a massa m é desprezível em relação a massa M , então podemos desconsidera-la. Então vamos lá.
A velocidade relativa da nave quando está se aproximando do planeta será :
Vplaneta + Vnave , certo ?
Agora quando a nave está terminando a orbita no planeta ela ainda continua com a velocidade Vplaneta + Vnave que vamos chamar de v, então a saída da orbita a velocidade relativa será Vplaneta + v, então :
Vplaneta + Vplaneta + Vnave = 26 + 12 = 38km/s

Deu pra entender ?

Obrigado pela resposta!

Mas não entendi o final: "então a saída da orbita a velocidade relativa será Vplaneta + v". Como as velocidades estão no mesmo sentindo, a velocidade relativa não deveria ser Vplaneta - V?

Na verdade não isso aconteceria se o planeta não estivesse em rotação, é meio difícil explicar,já que é um movimento em 3 dimensões. Mas tenta pensar assim, o movimento de rotação do planeta está indo para um lado e a nave para outro lado. A nave continua no mesmo sentido do inicio do movimento.
Vê esse vídeo para entender melhor : https://www.youtube.com/watch?v=I3F88w3LkiI