TRIANGULO ABC

Num triângulo ABC, temos que AB=5 e AC=5.Sabendo que o ângulo ACB = 75°, calcule a área do triângulo ABC e o raio da circunferência circunscrita do triângulo ABC.

A área pode ser calculada pela fórmula:


O raio pode ser calculado pela Lei dos Senos, lembrando que


Ou calculamos valor de "a" pela lei dos cossenos, ou encontramos o seno de 75º pela soma dos ângulos 45º + 30º...

Também poderíamos utilizar a fórmula de Heron após encontrar o valor de "a" para calcular a área...


(Lembrando que é sempre interessante ter em mente a demonstração de algumas fórmulas caso não sejam muito complicadas...)

cos75º = cos(45º + 30º) = cos45ºcos30º + sen45ºsen30º = (\/6 - \/2)/4

Triângulo ABC é isósceles (AB = AC) ----> A^CB = 75º ----> A^BC = 75º

BÂC + A^BC + A^CB = 180º ----> BÂC + 75º + 75º = 180º ----> BÂC = 30º ---->senBÂC = 1/2

S = AB*C*sen^BÂC/2 ----> S = 5*5*(1/2) ----> S = 25/4

Faça um desenho do tiângulo e trace a circunferância circunscrita de centro O e raio R.

Trace os raios OA, OB e OC.

BÂO = CÂO = BÂC/2 ----> BÂC = CÂB = 15º

Triângulo OAC é isósceles (OA = OC = R) ----> ACO = CÂO = 15º

A^CB = A^CO + B^CO ----> 75º = 15º + B^CO ----> B^CO = 60º

Triângulo OBC é isósceles (OB = OC = R) ----> C^BO = B^CO = 60º

BC = AB*cos75º + AC*cos75º ----> BC = 2*5*(\/6 - \/2)/4 ----> BC = 5*(\/6 - \/2)/2

BC = OB*cos60º + OC*cos60º ---> 5*(\/6 - \/2)/2 = 2*R*(1/2) ----> R = 5*(\/6 - \/2)/2

Mais ou menos outra solução:



É uma triângulo isósceles, então os ângulos ficam, 75°, 75°, 30° e a área fica:
A=(5².sin30°)/2=25/4

Em todo triângulo isósceles, a altura também é bissetriz, logo, pela lei dos cossenos:

5²=R²+R²-2.R.R.cos150°=2R²+2R².cos30° (*Se cos150°= -cos30°)
25=2R²(1+√3/2)
25=2R².(1/2).(2+√3)


Abraços.

matheus

Continuando sua solução, para racionalizá-la:

R = 5/\/(2 + \/3) ---> Efetuando a transformação x, y = [A + - \/(A² - B)]/2:

A = 2 ---> B = 3 ----> A² - B = 1 ----> x = \/(3/2) = \/3/\/2 e y = 1/\/2

5/\/(2 + \/3) = 5/(\/3/\/2 + 1/\/2) = 5*\/2/(V3 + 1) = 5*\/2*(\/3 - 1)/(3 - 1) = 5*(\/6 - \/2)/2

Resposta idêntica à minha: estamos de parabéns