Produto escalar II

Descreva o conjunto de todos os vetores w (setinha em cima) ortogonais a v (setinha em cima)= (2,1,2) tais que u (setinha em cima) = (1,1-1) seja combinação linear de v(setinha em cima), w (setinha em cima).

Seja w = (a,b,c)
Se w é ortogonal a v = (2,1,2) então (a,b,c)•(2,1,2) = 0 =>
2a + b + 2c = 0 ---(I)

u = αv + βw
(1,1,-1) = α(2,1,2) + β(a,b,c)
(1,1,-1) = (2α+βa,α+βb,2α+βc)
2α+βa = 1 ---> α = (1 - βa)/2
α+βb = 1 ----> (1 - βa)/2 +βb = 1 => 1 - βa + 2βb = 2 ==> β = 1/(2b-a)
2α+βc = -1 ----> 1 - βa +βc = -1 ==> β = -2/(c-a)
Igualando β
-2/(c-a) = 1/(2b-a) ==> -4b+2a = c-a ==> 3a - 4b - c = 0

Agora temos:
Adotando c = θ, obtemos:
2a + b + 2θ = 0 ==> 2a + b = -2θ --(I)
3a - 4b - θ = 0 ==> 3a - 4b = θ ==> 6a - 8b = 2θ --(II)

Somando as duas equações:
..2a + b = -2θ
.+6a - 8b = 2θ
8a - 7b = 0 ==> 8a = 7b => a = 7b/8
Substituindo a em II
6*7b/8 - 4b = 2θ ==> 42b - 32b = 16θ => 10b = 16θ => b = 8θ/5

Com isso a = (7/8.)*(8θ/5) ==> a = 7θ/5

Com isso a solução do sistema SPI é (7θ/5,8θ/5,θ) para todo θ pertencente aos reais.
Onde θ é um parâmetro.

ah tá entendi..entao, tinha ficado na duvida na hora da combinaçao linear mesmo, mas agora que vi que dá pra colocar a resposta em funçao de teta to feliz =D heuehue vlws!

Eiiita, achei um erro!
3a - 4b - θ = 0 ==> 3a - 4b = θ ==> 6a - 4b = 2θ --(II) , não multipliquei o 4b por 2, irei corrigir e verificar denovo.

Pronto, corrigido. Caso encontre outro erro me avise