(EPCAR) Análise de Funções

(EPCAR) Analise os itens abaixo, classificando-os em V (verdadeiro) ou
F (falso).
I) Existem apenas três números inteiros que satisfazem ao
domínio da função g dada por
II) O trinômio (m – 1)x² + mx + m onde m ∈ ℝ é sempre
negativo se, e somente se, m g IR*- ( Reais não-nulos negativos )


III) Se f(x) = x + 1 e g(x) = x, então a composição fog não é
par nem ímpar.


A seqüência correta é


a) F F V c) V F V
b) F V F d) V V F


R:"b"

Estranho ele diz que a primeira é falsa,nao estou achando isso
Fazendo g(x) >=0
vai dar 0 = < x < 3
logo temos [0,1,2] temos 3 inteiros
Existem apenas três números inteiros que satisfazem ao
domínio da função g .
E o gabarito diz que é b ..estranho :scratch:
Ou estou errada?

I)
O dominio de g(x) pode ser dado por :

√[2x + 3 - 3 + x / 3 - x ] = √(3x/3-x)
Analisando as funções do numerador e denominador, basta aplicarmos a restrição de g(x) ser maior ou igual a zero e fazer o estudo do sinal das mesmas.

Assim feito temos que qualquer numero do intervalo [0,3[ satisfaz a restrição. Logo, os numeros inteiros do intervalo são 0 ,1 e 2.

(V)

II) Provemos :

(m – 1)x² + mx + m , m < 0
∆ = m² - 4(m - 1)m = -3m² + 4m = m(-3m + 4)

Como a função do seg. grau possui coeficiente quadratico menor que zero, possui concavidade voltada para baixo. Para que todo valor da função seja negativo, basta fazermos ∆ < 0

Logo : m(-3m + 4) < 0
m < 0 ou m > 4/3 :

Percebe-se então, que o trinômio não é sempre negativo "se, e somente se" m<0 . ∃ m > 0 | p(x) < 0 , ∀x ∈ ℝ


(F)

III) Uma função par obedece a lei : f(x) = f(-x)
Uma função impar obedece a lei : f(-x) = -f(x)

fog(x) = x +1

Percebe se que : f(2)≠f(-2) : f(2) = 3 , f(-2) = -1 : 3 ≠ -1
f(-2) ≠ -f(2) : -1 ≠ -3

Logo, não é par nem impar.

(V)

Gabarito : V - F - V (C)

Al. eu acho que falta algo na sua explicaçao da dois...ve se estou errada
para uma funçao do segundo grau ser sempre negativa, o a<0, Delta <0




entao m - 1<0
m<1
fazendo a intersecçao dos valores do Delta
fica:
m >0 ,m<4/3,m<1
____0---------------------------------------
-------------4/3___________________
-----------1__________________
entao 0< m <1
certo ou nao?

Repare que já esta suposto pela questão que m seja um numero negativo.

Fazer m - 1 < 0 é dizer que o coeficiente quadratico da função é negativo. Mas isso não garante que a função toda tenha imagem estritamente negativa. Além do mais, se m ja é negativo , fica implícito que m - 1 tambem seja um numero negativo.

Fazendo a restição do delta, você cai no produto :
m(-3m +4 ) < 0

Como m<0 , segue que -3m é um numero positivo. Fazendo a intercecção dos valores que satisfaz o Delta menor que zero achamos m como um valor positivo, o que acaba sendo provado por absurdo, porque teoricamente, partimos que m ja é negativo

Al Henrique..estou vendo por esta interpretaçao: que ele nao diz que o m que pertence aos Reais é sempre nagativo , ele diz que aquele trinômio cujo o m pertence aos reais vai ser sempre negativo ,ele esta se referindo ao trinômio e nao ao m ser sempre negativo.
Ou estou errada?
por isso que fiz aquelas condições.

Pelo que li da questão, ressalto :

II) O trinômio (m – 1)x² + mx + m onde m ∈ ℝ é sempre
negativo se, e somente se, m ∈ IR*- ( Reais não-nulos negativos )