Números complexos - (conjugado)

por Jh Dom 25 Mar 2012, 18:03

determine todos os numeros complexos z que satisfazem simultaneamente as condições: z+3| - 2z(conjugado) = 3 + 6i. e |z| < 4

por **Elcioschin** Dom 25 Mar 2012, 20:47

Estou supondo o correto é |z + 3|

z = a + bi ----> z' = a - bi

1) |z + 3| - 2*z' = 3 + 6i ---> |a + bi + 3| - 2*(a - bi) = 3 + 6i ---> |(a+3) + bi| - 2a + 2abi = 3 + 6i --->

\/[(a + 3)² + b²] - 2a + 2bi = 3 + 6i ----> \/(a² + 6a + b² + 9) - 2a + 2bi = 3 + 6i

Igualando termo a termo:

2b = 6 ----> b = 3

\/(a² + 6a + 3² + 9) - 2a = 3 ----> a² + 6a + 18 = (2a + 3)² ----> a² + 2a - 3 = 0

Raízes da equação do 2º grau ----> a = -3 e a = 1

2) |z| =< 4 ----> \/(a² + b²) =< 4 ----> a² + b² =< 16 ----> a² + 3² =< 16 ----> a² =< 7 ---> a² - 7 =< 0

Devemos ter -\/7 =< a =< +\/7 ----> -2,65 =< a =< +2,65

A solução a = -3 não serve (está fora do intervalo)

A s=olução a = 1 atende (está dentro do intervalo)

z = 1 + 3i