Cálculo de limites

por Luís Ter 20 Mar 2012, 19:42

Qual é o lim (x => 2) 2x² - 12x + 16 / 3x² + 3x - 18 ?

Resposta: - 4/15

Tem que fatorar essa equação? Não estou conseguindo. Sad

por **Agente Esteves** Ter 20 Mar 2012, 19:52

Como podemos ver, 2 não faz parte do domínio da função denominador. Vamos ter então que fatorar essa expressão até 2 fazer parte.

(2x² - 12x + 16) / (3x² + 3x - 18)
Para começar, podemos colocar 2 e 3 em evidência em cada uma das expressões. Assim...
2(x² - 6x + 8 ) / 3(x² + x - 6)
As raízes da expressão de cima são 4 e 2 e as raízes da expressão de baixo são 2 e - 3. Podemos fatorar então no formato (x - x1)(x - x2) sendo x1 e x2 raízes de uma expressão do segundo grau. Lembrando que esse formato só vale caso o coeficiente de x² seja 1. Caso contrário, sendo a o coeficiente, a expressão é escrita: a(x - x1)(x - x2).

Então...
2(x - 4)(x - 2)/3(x - 2)(x + 3)
Podemos cortar.
2(x - 4)/3(x + 3)
E repare que agora 2 faz parte do domínio. Podemos substituir e achar a resposta!

lim (x => 2) 2(2 - 4)/3(2 + 3) = 2 * (-2) / 3 * 5 = - 4 / 15

Espero ter ajudado. ^_^

por **arimateiab** Ter 20 Mar 2012, 20:03

$\large \inline \dpi{150} \\ \\P(x)\quad =\quad { ax }^{ n }+b{ x }^{ n-1 }+...+cx+d\quad ;\quad sejam\quad { r }_{ 1 },{ r }_{ 2 },...,{ r }_{ n },\quad as\quad raízes\quad deste\quad polinomio.\\ Podemos\quad escrever\quad P(x)\quad em\quad função\quad de\quad a\quad e\quad { r }_{ 1 },{ r }_{ 2 },...,{ r }_{ n }.\\ P(x)\quad =\quad a\cdot (x-{ r }_{ 1 })(x-{ r }_{ 2 })\cdot ...\cdot (x-{ r }_{ n })$

i)
2x² - 12x + 16 = 0
d = 144 -128 = 16
x = (12+4)/4
x = 4 ou x = 2
Então 2x² - 12x + 16 = 2*(x-2)*(x-4)

ii)
3x² + 3x - 18 = 0
x² + x - 6 = 0
d = 1 + 24 = 25
x = (-1 + 5 )2
x = 2 ou x = -3
Então 3x² + 3x - 18 = 3*(x-2)*(x+3)

Agora calculemos o lim.
lim (x => 2) 2x² - 12x + 16 / 3x² + 3x - 18 =
lim (x => 2) 2*(x-2)*(x-4) /3*(x-2)*(x+3) =
lim (x => 2) 2*(x-4) / 3*(x+3) = -4/15