(Rihan-2012) Raízes de Polinômio Complexo II

Relembrando a primeira mensagem :

Seja f : ℂ ↦ ℂ, f(z) = z² - (5 + 8i)z - 8 + 14i, quais as soluções para f(z) = 0?

Spoiler:

explicando melhor
um numero complexo é primo gaussiano se satisfazer 3 condiçoes
para a e b diferente de zero
z na forma a+bi

a²+b² = um numero primo


ou |a| e |b| primos nas formas a e bi tais que |a| ou |b| = 3mod(4) (quando um deles divididos por 4 , deixara resto 3)

z² - (5 + 8i)z - 8 + 14i = 0

d= (5+8i)² -4(-8+14i)
d = 25-64 +80i +32 -56i
d= -7+24i
todo numero pertencente aos inteiros na forma 4k+3 eh primo gaussiano
3,7,11....

ex :
z = 23 + 41i

como fatorar esse numero ? , primeiro
23 = primo e , 23 = 3mod4 ? V
entao é um primo gaussiano
primeira coisa , multiplicar pelo seu conjugado

(23+41i)(23-41i) = 23² +41² = 2210

agora vamos decompor em fatores primos

2210 = 2.5.13.17

agora desses fatores primos , quais podem ser escritos na forma 4k+3 ?
nenhum ... , entao podemos fatorar todos

2 = 1² +1² = (1+i)(1-i)
5 = 2² +1² = (1+2i)(1-2i)
13 = 3² +2² = (2+3i)(2-3i)
17 = 4² +1² =(1+4i)(1-4i)

ah....
entao

podemos dizer que 2210 = (1+i)(1-i)(1+2i)(1-2i)(2+3i)(2-3i)(1+4i)(1-4i)
e um desses fatores ira dividir 23+41i em um fator primo inteiro gaussiano

da mesma forma ....

-7+24i , multiplicando pelo seu conjugado
(-7+24i)(-7-24i) = (-7)² +24² =625

625 = 5.5.5.5 , 5 nao pode ser escrito na forma 4k+3
entao.....

5 = 2² +1² = (1+2i)(1-2i)
assim...

625 = (1+2i)^4.(1-2i)^4

625 = [(1+2i)(1-2i)]^4

625 = [(-3+4i)(-3-4i)]²
625 = (-3+4i)²(-3-4i)²

repare que so (-3-4i) divide -7+24i em fator primo inteiro
e (-3-4i)² =-7+24i

d = (-3-4i)²

z = [(5+8i) +- (-3-4i)]/2

z = [5+8i -3-4i]/2
z = [2 +4i]/2
z = 1+2i

z' = [5+8i +3+4i]/2

z' = [8+12i]/2

z' = 4+6i


saudaçoes complexas , e vamo q vamo !

Isso ai christian , esse assunto é muito útil, poderia virar um artigo e vai virar, segundo nosso grande amigo rihan, deixarei alguns links para quem quiser ler sobre o assunto.Principalmente o primeiro:

http://www.had2know.com/academics/gaussian-prime-factorization-calculator.html
http://mathworld.wolfram.com/GaussianPrime.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integer
http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Gaussian_integer_factorizations
http://mathworld.wolfram.com/PrimeFactorizationAlgorithms.html
http://mathworld.wolfram.com/PrimeFactorization.html

Excelente ! Muito Legal ! E Vamos Nós ! !

adoro complexos , eh muito massa , gauss foi brilhante mesmo , as vezes penso que esses caras foram alienígenas que vieram a terra só pra implantar conhecimentos ... , sera que iremos ter um "gauss" , "newton" do seculo 21 ?

christian escreveu:adoro complexos , eh muito massa , gauss foi brilhante mesmo , as vezes penso que esses caras foram alienígenas que vieram a terra só pra implantar conhecimentos ... , sera que iremos ter um "gauss" , "newton" do seculo 21 ?

Se a monarquia volta para o Brasil e o Brasil voltar a ser Brazil, aí sim, pode sim !!! Até deve ! Certeza !

Com o passar do tempo vocês vão conhecer mais e mais as maravilhas de Gauss :king: !!!

Saudações Primordiais (primas) !!!