Triângulos Equiláteros

Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF são eqüiláteros; as 4 circunferências tem
mesmo raio e cada lado do triângulo DEF é tangente a duas delas.
Qual a razão entre os lados dos triângulos ABC e DEF ?



Resposta: 1/4

Trace todos os raios dos círculos perpendiculares ao triângulo maior
Trace também os raios colineares entre os círculos.
Seja O o centro do círculo próximo de F
Seja G o ponto de contado do círculo próximo de F com o lado EF

OG = r
O^FG = 30º ----> FÔG = 60º

OF*cosFÔGº = OG ----> OF*(1/2) = r ----> OF = 2r

OF*cosO^FG = OG ----> (2r)*\/3/2) = OG ----> OG = r*V3

Sja O' o centro do círculo próximo de E e H o ponto de contato dele com EF:

EH = r*\/3

OO' = 2*(2r)*cos30º ----> OO' = 2r*\/3 ----> GH = 2r*\/3

EF = 4r*\/3

Lado do triângulo menor BC = 2*r*cos30º ---> BC = r*\/3

BC/EF = 1/4