[DÚVIDA] - Representação numérica

por **Kongo** Seg 16 Jan 2012, 17:29

Mostre que 1 é o único inteiro positivo que é igual a soma dos quadrados dos seus dígitos.

por **Matheus Bertolino** Seg 16 Jan 2012, 17:48

1 = 1² = V
2 = 2² = F
3 = 3² = F
11 = 1² + 1² = F
12 = 1² + 2² = F

Acho que é isso.

por **Kongo** Seg 16 Jan 2012, 21:12

Matheus Bertolino escreveu:1 = 1² = V
2 = 2² = F
3 = 3² = F
11 = 1² + 1² = F
12 = 1² + 2² = F

Acho que é isso.

Acho que isto não pode ser considerado uma demonstração formal. Pois você só mostrou que só 3 números não satisfazem a relação pedida. Como saberemos que não existe um número K que satisfaz?

por **abelardo** Ter 17 Jan 2012, 14:35

$\dpi{120} \\ abcd...=a^2+b^2+c^2+d^2+... \\ 10^{n}\cdot a+10^{n-1}\cdot b+10^{n-2}\cdot c +10^{n-3}\cdot d+...=a^2+b^2+c^2+d^2+... \\ a\cdot(10^{n}-a)+b\cdot(10^{n-1}-b)+c \cdot(10^{n-2}-c)+...=0$

Como os algarismos são fatores positivos, acredito que essa soma será nula somente se cada potência de dez subtraída de respectivo algarismo seja igual a zero.

$\dpi{120} \\ a\cdot(10^{n}-a)+b\cdot(10^{n-1}-b)+c \cdot(10^{n-2}-c)+...=0 \\ a \cdot 0+b\cdot 0+c\cdot 0+...=0 \\\\10^{n}-a=0 \\10^{n-1}-b=0 \\10^{n-2}-c=0 \\.. \\.. \\..$

O único algarismo que é igual a uma potência de dez é um ---> $\dpi{120} 10^0=1$

Espero que sirva de subsídio para alguém fazer uma demonstração correta.