Mínimo múltiplo comum (mmc) 2

A soma de dois números é 76 e o seu mmc é 360. Calcular os dois números.

Abraços

360 = 2³*3²*5

Divisores naturais de 360:

(1, 360); (2, 180); (3, 120), (4, 90); (5, 72); (6, 60); (8, 45); (9, 40); (10, 36); (12*30); (15, 24); (18, 20)

Os números são 36 e 40

Grande mestre, eu desenvolvi de outra maneira.

A-x+y=76         B-(mdc)xy=360.

1- fatorando ambas

76=2.2.19                    360=2.2.2.3.3.5

2-Dividindo pelos valores repetidos(2.2)

A2- x+y=19                 B2-90

Aqui de cara você já enxerga os valores 10 e 9

3- Multiplica por 4 e ache a original. R: 40 e 36


 Eu fiz e deu certo. teve um raciocínio pro trás, porém, explicação porque deu certo, isso eu não tenho

Depois de passar um bom tempo tentando encontrar uma explicação pro raciocínio do Eduardo, acho que consegui descobrir por que deu certo. Primeiro, só dei uma ajeitada nas informações do enunciado:

x + y = 76 ⇒ x + y = 2² . 19

mmc(x, y) = 360 ⇒ (x . y) / a = 2³ . 3² . 5, onde "a" corresponde ao produto dos fatores em comum de x e y

Como 19 não é um dos fatores primos de 360 e os números x e y só possuem como fatores primos 2, 3 e/ou 5, vou colocar 2² em evidência na expressão do mmc de x e y e, na expressão da soma de x e y, vou escrever o multiplicador (19) em termos dos fatores primos de 360 que restaram dentro dos parênteses:

(x . y) / a = 2² . (2 . 3² . 5)

x + y = 2² . (2 . 5 + 3²) ⇒ x + y = 2³ . 5 + 2² . 3² ⇒ x + y = 40 + 36

Assim, os dois números são 40 e 36.

Ainda não tenho certeza se realmente entendi por que isso funciona, mas acredito que seja porque a soma de x e y deve ser encarada como uma soma de dois produtos cujos fatores se restringem aos fatores do mmc de x e y. Afinal, o mmc de dois números não pode ter fatores primos que não sejam os fatores primos dos próprios números em questão.

Stella Martins escreveu:Depois de passar um bom tempo tentando encontrar uma explicação pro raciocínio do Eduardo, acho que consegui descobrir por que deu certo. Primeiro, só dei uma ajeitada nas informações do enunciado:

x + y = 76 ⇒ x + y = 2² . 19

mmc(x, y) = 360 ⇒ (x . y) / a = 2³ . 3² . 5, onde "a" corresponde ao produto dos fatores em comum de x e y

Como 19 não é um dos fatores primos de 360 e os números x e y só possuem como fatores primos 2, 3 e/ou 5, vou colocar 2² em evidência na expressão do mmc de x e y e, na expressão da soma de x e y, vou escrever o multiplicador (19) em termos dos fatores primos de 360 que restaram dentro dos parênteses:


(x . y) / a = 2² . (2 . 3² . 5)


x + y = 2² . (2 . 5 + 3²) ⇒ x + y = 2³ . 5 + 2² . 3² ⇒ x + y = 40 + 36


Assim, os dois números são 40 e 36.

Ainda não tenho certeza se realmente entendi por que isso funciona, mas acredito que seja porque a soma de x e y deve ser encarada como uma soma de dois produtos cujos fatores se restringem aos fatores do mmc de x e y. Afinal, o mmc de dois números, por ser múltiplo de ambos, não pode ter fatores primos que não sejam os fatores primos dos próprios números em questão.

Vou tentar explicar porque funciona. Agora que já temos a resposta, sabemos que os números procurados são x = 36 e y = 40. Fatorando podemos escrever:

\(x = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0\)

\(y = 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^1\)

Para calcular o mmc de dois números que conhecemos a fatoração, basta tomar os maiores expoentes:

\( \textrm{mmc }\!(x,y) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1\)

Para calcular o mdc de dois números que conhecemos a fatoração, basta tomar os menores expoentes:

\( \textrm{mdc }\!(x,y) = 2^2 \cdot 3^0 \cdot 5^0\)

Sabendo disso podemos entender o que aconteceu. Como foi fornecido o mmc dos números, e esse mmc tem os fatores 2,3,5 , concluímos que os números x,y originais só possuem como fatores primos esses números. Por outro lado, quando somamos os dois números x e y podemos colocar sempre o mdc em evidencia, pois ele é um fator comum de x e de y:

\(x + y = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0 + 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = \underbrace{2^2\cdot 3^0 \cdot 5^0}_{\textrm{mdc }\!(x,y)} ( 3^2 +2^1 \cdot 5^1) \)

Repare que como x+y é conhecido, isso implica que mdc(x,y) é justamente a "parte" desse número que contem as potencias de 2,3 e 5. Os demais fatores de x+y obrigatoriamente não contém esses primos. Isso significa que o mdc(x,y) é 2², já que x+y = 2².19. Ou seja, o valor que vc chamou de "a" é justamente o mdc dos números.Disso resulta o sistema:

\( \left \{ \begin{array}{l}
x+y = 76 \\
xy = mdc(x,y).mmc(x,y) = 4 \cdot 360
\end{array} \right. \)

(a segunda igualdade é justamente a equação que vc descreveu como "xy/a = mmc(x,y)" )

Resolvendo o sistema obtemos a solução. Se não quiser resolver diretamente, pode fazer a mudança de variavel \( \tilde x= \dfrac x4\), \( \tilde y = \dfrac y4\) que transforma o sistema em:

\( \left \{ \begin{array}{l}
\tilde x+ \tilde y = 19 \\
\tilde x \tilde y = 90
\end{array} \right. \)

Isso é equivalente ao truque de dividir por 4 usado na resolução (ou seja, eliminamos os fatores comuns). Esse novo sistema dá a solução (9,10), que no sistema original corresponde a (36,40).

Nossa, agora, sim!! Explicação incrível, muito obrigada!

Stella Martins escreveu:Nossa, agora, sim!! Explicação incrível, muito obrigada!

Por nada, bons estudos!